1. Em um grande sistema de armazenamento em baterias, a tensão elétrica nominal de saída de um arranjo de baterias em série é de 650 \mathrm{~V}(\mathrm{CC}) e a corrente elétrica nominal é de 1200 A . A tensão elétrica pode variar na faixa de 500 V a 800 V . Essa tensão elétrica de saída é elevada para 900 V (CC), como entrada de um inversor que faz a interface com a rede elétrica de distribuição trifásica. Utiliza-se um estágio de potência comutado com capacidade bidirecional de fluxo de potência. A frequência de comutação é de 50 kHz , e o valor da indutância é selecionado de modo que a ondulação de pico a pico da corrente elétrica no indutor seja menor que 10 \% da corrente elétrica nominal da bateria, com a tensão elétrica da bateria em seu valor nominal.
    (a) Calcule o valor da indutância.
    (b) Calcule a ondulação de pico a pico da corrente elétrica no indutor se o conversor estiver operando na corrente elétrica nominal, mas com a tensão elétrica da bateria em seu valor mínimo.
    (c) Repita o item (b) supondo que a tensão elétrica da bateria esteja em seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a), (b) e (c). As informações dadas são:
  • Tensão nominal da bateria: \,650\\ \mathrm{V}.
  • Corrente nominal da bateria: \,1200\\ \mathrm{A}.
  • Faixa da tensão da bateria: \,500\\ \mathrm{V} a \,800\\ \mathrm{V}.
  • Tensão elevada para o inversor: \,900\\ \mathrm{V} (valor de saída do conversor).
  • O estágio de potência é comutado com capacidade bidirecional.
  • Frequência de comutação: \,50\\ \mathrm{kHz}.
  • A indutância foi escolhida de modo que a ondulação pico a pico da corrente no indutor seja menor que 10\% da corrente nominal da bateria quando a tensão da bateria está em seu valor nominal ( 650\\ \mathrm{V}).
As perguntas específicas:
(a) Calcular o valor da indutância L que garante \Delta I_{pp} < 10\% de 1200\\ \mathrm{A} no caso da bateria em 650\\ \mathrm{V}.
(b) Calcular a ondulação pico a pico \Delta I_{pp} quando o conversor opera com a corrente nominal e a tensão da bateria é mínima ( 500\\ \mathrm{V}), usando a indutância do item (a).
(c) Repetir (b) para a tensão máxima da bateria ( 800\\ \mathrm{V}).

Passo 2

Modelo e hipótese usada (explicação didática, sem pular etapas):
  • Vamos tratar o conversor como um conversor boost (elevador) ideal para obter a relação entre tensão de entrada e duty cycle. Em um boost ideal (modo contínuo), a tensão média de saída \,V_{\text{out}} e a tensão de entrada \,V_{\text{in}} se relacionam por:
V_{\text{out}}=\frac{V_{\text{in}}}{1-D},
onde D é o ciclo de trabalho (duty cycle), 0\le D<1.
  • Isoladamente: essa fórmula vem do equilíbrio de tensões médias no indutor em regime estacionário: a tensão média no indutor ao longo de um período deve ser zero, e a relação acima é a que garante isso no boost ideal.
  • Da fórmula acima podemos isolar D:
D=1-\frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}.

Passo 3

Fórmula da ondulação de corrente no indutor (aula curta):
  • Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D\cdot T, com T=1/f_s), a tensão sobre o indutor é aproximadamente V_{\text{in}} (no boost ideal, enquanto o interruptor está ligado o indutor é conectado à fonte).
  • A equação diferencial fundamental do indutor é \,v_L=L\,\dfrac{di}{dt}. Integrando durante o intervalo D T temos a variação de corrente (a subida da corrente):
\Delta I = \frac{V_{\text{in}}\cdot D\cdot T}{L}.
  • Como T=1/f_s, escrevemos em termos da frequência de comutação:
\Delta I = \frac{V_{\text{in}}\cdot D}{L\cdot f_s}.
  • Aqui:
    • \Delta I é a ondulação pico a pico da corrente no indutor (pois a subida e a descida têm mesma magnitude em regime estacionário).
    • V_{\text{in}} é a tensão da bateria.
    • D é o duty cycle já definido.
    • L é a indutância que queremos achar.
    • f_s é a frequência de comutação ( 50\\ \mathrm{kHz} neste problema).

Passo 4

Aplicando a condição de projeto no ponto nominal (parte (a)):
  • A especificação diz que a ondulação pico a pico deve ser menor que 10\% da corrente nominal. A corrente nominal é \,I_{\text{nom}}=1200\\ \mathrm{A}, portanto o máximo permitido é:
\Delta I_{\max}=0{,}10\cdot I_{\text{nom}}=0{,}10\cdot 1200=120\\ \mathrm{A}.
  • Primeiro vamos calcular o duty cycle para \,V_{\text{in}}=650\\ \mathrm{V} e \,V_{\text{out}}=900\\ \mathrm{V}:
D=1-\frac{650}{900}=1-\frac{13}{18}=\frac{5}{18}\approx 0{,}277777\ldots
  • Usando a fórmula da ondulação e isolando L:
L=\frac{V_{\text{in}}\cdot D}{\Delta I\cdot f_s}.
  • Substituindo V_{\text{in}}=650\\ \mathrm{V}, D=\dfrac{5}{18}, \Delta I=120\\ \mathrm{A}, f_s=50\\ \mathrm{kHz}=5\cdot 10^{4}\\ \mathrm{Hz}:
    Primeiro calcule V_{\text{in}}\cdot D:
V_{\text{in}}\cdot D = 650\cdot\frac{5}{18}=\frac{650\cdot 5}{18}=\frac{3250}{18}\\ \mathrm{V}\approx 180{,}5556\\ \mathrm{V}.
Agora calcule L:
L=\frac{180{,}5556}{120\cdot 50\,000}=\frac{180{,}5556}{6\,000\,000}\\ \mathrm{H}\approx 3{,}0093\times 10^{-5}\\ \mathrm{H}.
  • Converter para microhenries:
L\approx 30{,}09\\ \mu\mathrm{H}.
  • Portanto, para garantir \Delta I_{pp}\le 120\\ \mathrm{A} com \,V_{\text{in}}=650\\ \mathrm{V}, devemos escolher L\gtrsim 30{,}1\\ \mu\mathrm{H}. (Vou usar esse valor nos itens seguintes.)

Passo 5

Cálculo do item (b): ondulação com \,V_{\text{in}}=500\\ \mathrm{V} usando L do item (a):
  • Primeiro calcule o novo duty cycle:
D=1-\frac{500}{900}=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\approx 0{,}444444\ldots
  • Use a fórmula da ondulação:
\Delta I = \frac{V_{\text{in}}\cdot D}{L\cdot f_s}.
  • Substituindo V_{\text{in}}=500\\ \mathrm{V}, D=\dfrac{4}{9}, L=3{,}0093\times 10^{-5}\\ \mathrm{H} e f_s=50\,000\\ \mathrm{Hz}:
    Calcule V_{\text{in}}\cdot D:
V_{\text{in}}\cdot D = 500\cdot\frac{4}{9}=\frac{2000}{9}\\ \mathrm{V}\approx 222{,}2222\\ \mathrm{V}.
Calcule L\cdot f_s:
L\cdot f_s \approx 3{,}0093\times 10^{-5}\cdot 50\,000 \approx 1{,}50465.
Agora a ondulação:
\Delta I \approx \frac{222{,}2222}{1{,}50465}\\ \mathrm{A}\approx 147{,}7\\ \mathrm{A}.
  • Converter para porcentagem da corrente nominal:
\frac{147{,}7}{1200}\approx 0{,}1231\Rightarrow 12{,}31\%.
  • Interpretação: com a mesma indutância escolhida para o caso nominal, se a bateria cair para 500\\ \mathrm{V} a ondulação sobe para cerca de 12{,}3\% da corrente nominal, ou seja, acima do limite de 10\%.

Passo 6

Cálculo do item (c): ondulação com \,V_{\text{in}}=800\\ \mathrm{V} usando L do item (a):
  • Duty cycle:
D=1-\frac{800}{900}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}\approx 0{,}111111\ldots
  • Calcule V_{\text{in}}\cdot D:
V_{\text{in}}\cdot D = 800\cdot\frac{1}{9}=\frac{800}{9}\\ \mathrm{V}\approx 88{,}8889\\ \mathrm{V}.
  • Usando L\cdot f_s já calculado (aprox. 1{,}50465):
\Delta I \approx \frac{88{,}8889}{1{,}50465}\\ \mathrm{A}\approx 59{,}10\\ \mathrm{A}.
  • Em porcentagem da corrente nominal:
\frac{59{,}10}{1200}\approx 0{,}04925\Rightarrow 4{,}93\%.
  • Interpretação: com bateria a 800\\ \mathrm{V} a ondulação fica bem abaixo de 10\%.

Resposta

(a) L\approx 30{,}09\\ \mu\mathrm{H}\n
(b) \Delta I_{pp}\approx 147{,}7\\ \mathrm{A} (≈ 12{,}31\% de 1200\\ \mathrm{A})\n
(c) \Delta I_{pp}\approx 59{,}10\\ \mathrm{A} (≈ 4{,}93\% de 1200\\ \mathrm{A})

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