Em um sistema fotovoltaico, os módulos (placas) possuem saída de tensão em corrente contínua (CC). Uma característica típica destes módulos é a chamada “tensão de circuito aberto (Voc)”, ficando ela comumente próxima de 45 V . A tabela a seguir apresenta as aferições de \mathrm{V}_{\mathrm{OC}} de um módulo com o valor exato dado por datasheet em 45,20 V. Foi utilizado nas medições um voltímetro que tem dados de incerteza conforme a tabela abaixo. Para os dados apresentados pede-se: a) o valor médio da tensão de circuito aberto do módulo; b) o erro absoluto e o erro relativo de cada medida; c) o desvio padrão da média; d) a escrita do valor mais provável e sua incerteza.
Aferição Tensão Voc [V] Aferição Tensão Voc [V]
1 44,22 8 43,33
2 45,32 9 45,32
3 47,32 10 45,22
4 45,22 11 44,98
5 44,98 12 45,87
6 45,35 13 45,23
7 46,43 14 45,45
A. DC Voltage
Range Accuracy Resolution
40 mV \pm(0.5 \%+6 D) 0.01 mV
400 mV \pm(0.5 \%+5 D) 0.1 mV
4 V 1 mV
40 V 10 mV
400 V 100 mV
1000 V \pm(1.0 \%+5 D) 1 V

Passo 1

O enunciado pede que, usando as 14 aferições de tensão de circuito aberto do módulo e as especificações do voltímetro, se calcule:
  • (a) o valor médio da tensão V_{\mathrm{OC}};
  • (b) o erro absoluto e o erro relativo de cada medida individual (usando a incerteza do voltímetro);
  • (c) o desvio padrão da média (ou seja, o desvio padrão dos dados dividido por \sqrt{N});
  • (d) a escrita final do valor mais provável e sua incerteza combinada.
Dados fornecidos (peguei as tensões da tabela do enunciado):
\begin{array}{l l} \text{Aferições }(i) & V_i\\ (\mathrm{V})\\\\ 1 & 44,22\\\\ 2 & 45,32\\\\ 3 & 47,32\\\\ 4 & 45,22\\\\ 5 & 44,98\\\\ 6 & 45,35\\\\ 7 & 46,43\\\\ 8 & 43,33\\\\ 9 & 45,32\\\\ 10 & 45,22\\\\ 11 & 44,98\\\\ 12 & 45,87\\\\ 13 & 45,23\\\\ 14 & 45,45 \end{array}çõ
Especificação relevante do voltímetro (peguei da tabela do enunciado): a faixa que cobre as medições (valores ≈ 45\\ \mathrm{V}) é a faixa de 400\\ \mathrm{V}, cuja acurácia indicada é
\pm(0{,}5\% + 5\\ \mathrm{D}),
e a resolução nessa faixa é 0{,}1\\ \mathrm{V}. Portanto, o termo 5\\ \mathrm{D} corresponde a 5\times 0{,}1\\ \mathrm{V}=0{,}5\\ \mathrm{V}.
Observação: não usei a faixa de 40\\ \mathrm{V} porque as medições excedem 40\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Como a incerteza do instrumento combina uma parcela percentual da leitura e um número fixo de dígitos, a incerteza absoluta (limite de leitura) para cada medida V_i é calculada por:
\Delta_{\mathrm{inst},i} = 0{,}005\cdot V_i + 0{,}5\\ \mathrm{V}.
Explicando a fórmula: 0{,}5\% vira 0{,}005 em fração; multiplica-se pela leitura V_i para obter a parte percentual. O termo 0{,}5\\ \mathrm{V} vem dos 5 dígitos finais multiplicados pela resolução 0{,}1\\ \mathrm{V}.
O erro relativo (fração) para cada medida é
\varepsilon_i = \frac{\Delta_{\mathrm{inst},i}}{V_i},
e em percentagem vale 100\cdot\varepsilon_i\%.
Agora calculo \Delta_{\mathrm{inst},i} e \varepsilon_i para cada medida (arredondei resultados mostrados a 3 algarismos significativos quando faz sentido):
\begin{array}{l l l} i & \Delta_{\mathrm{inst},i}\\ (\mathrm{V}) & \text{Erro relativo }(100\cdot\varepsilon_i)\%\\[4pt] 1 & \Delta_{1}=0{,}005\cdot44{,}22+0{,}5=0{,}7211 & 1{,}63\%\\[4pt] 2 & \Delta_{2}=0{,}005\cdot45{,}32+0{,}5=0{,}7266 & 1{,}60\%\\[4pt] 3 & \Delta_{3}=0{,}005\cdot47{,}32+0{,}5=0{,}7366 & 1{,}56\%\\[4pt] 4 & \Delta_{4}=0{,}005\cdot45{,}22+0{,}5=0{,}7261 & 1{,}61\%\\[4pt] 5 & \Delta_{5}=0{,}005\cdot44{,}98+0{,}5=0{,}7249 & 1{,}61\%\\[4pt] 6 & \Delta_{6}=0{,}005\cdot45{,}35+0{,}5=0{,}7268 & 1{,}60\%\\[4pt] 7 & \Delta_{7}=0{,}005\cdot46{,}43+0{,}5=0{,}7322 & 1{,}58\%\\[4pt] 8 & \Delta_{8}=0{,}005\cdot43{,}33+0{,}5=0{,}7167 & 1{,}66\%\\[4pt] 9 & \Delta_{9}=\Delta_{2}=0{,}7266 & 1{,}60\%\\[4pt] 10 & \Delta_{10}=\Delta_{4}=0{,}7261 & 1{,}61\%\\[4pt] 11 & \Delta_{11}=\Delta_{5}=0{,}7249 & 1{,}61\%\\[4pt] 12 & \Delta_{12}=0{,}005\cdot45{,}87+0{,}5=0{,}7294 & 1{,}59\%\\[4pt] 13 & \Delta_{13}=0{,}005\cdot45{,}23+0{,}5=0{,}7262 & 1{,}60\%\\[4pt] 14 & \Delta_{14}=0{,}005\cdot45{,}45+0{,}5=0{,}7273 & 1{,}60\% \end{array}
Comentário curto de didática: o erro absoluto aqui é o limite que o fabricante indica — é a combinação de erro percentual (varia com o valor medido) e de erros de resolução (número fixo em volts). O erro relativo costuma ser mais intuitivo para comparar medições de ordens de grandeza diferentes.]

Passo 3

Calcular o valor médio (a média aritmética) das N=14 medições:
\overline{V}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} V_i.
Somei as 14 medições (peguei os valores da tabela) e obtive
\sum_{i=1}^{14} V_i = 634{,}24\\ \mathrm{V},
portanto
\overline{V}=\frac{634{,}24}{14}=45{,}302857\\ \mathrm{V}\approx 45{,}30\\ \mathrm{V}.
Explicação prática: na prova, faça a soma e divida por N; aqui 45,30 V é a média aritmética das leituras.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral s (medida da dispersão das leituras):
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(V_i-\overline{V}\bigr)^2 }.
Uma forma prática é usar a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{N} V_i^2 = 28743{,}8618\\ \mathrm{V}^2
(este valor foi obtido somando V_i^2 para cada i). Então
s^2=\frac{1}{N-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{N} V_i^2 - N\overline{V}^2\Bigr) =\frac{28743{,}8618-14\cdot(45{,}302857)^2}{13}=0{,}844433\\ \mathrm{V}^2.
Logo
s\approx 0{,}9189\\ \mathrm{V}.
Explicando: s quantifica a dispersão das leituras em volts; é o desvio padrão amostral (usamos N-1 no denominador porque são dados experimentais amostrais).

Passo 5

Desvio padrão da média (desvio padrão do valor médio), também chamado de erro tipo A ou erro estatístico da média:
u_A=\frac{s}{\sqrt{N}}=\frac{0{,}9189}{\sqrt{14}}\approx 0{,}2456\\ \mathrm{V}.
Interpretação: mesmo com várias leituras, a média tem incerteza menor do que a dispersão individual; dividir por \sqrt{N} quantifica isso.

Passo 6

Incerteza do instrumento (tipo B) para o valor médio: aplico a fórmula do instrumento usando a média \overline{V}:
\Delta_{\mathrm{inst},\overline{V}}=0{,}005\cdot\overline{V}+0{,}5 =0{,}005\cdot45{,}302857+0{,}5\approx 0{,}7265\\ \mathrm{V}.
Explicação de interpretação estatística: o fabricante dá um limite de erro (um intervalo). Muitas vezes tratamos esse limite como uma distribuição retangular (todas as diferenças até esse limite igualmente prováveis). Assim a incerteza padrão correspondente é
u_B=\frac{\Delta_{\mathrm{inst},\overline{V}}}{\sqrt{3}}\approx\frac{0{,}7265}{\sqrt{3}}\approx 0{,}4195\\ \mathrm{V}.
Observação: se alguém optar por não dividir por \sqrt{3} estaria trabalhando com um “intervalo de confiança” tipo B em vez de uma incerteza padrão; a prática correta para combinar com o erro tipo A é converter para incerteza padrão (por isso o \sqrt{3}).

Passo 7

Combinar as incertezas tipo A e tipo B (assumindo independência) usando soma em quadratura para obter a incerteza padrão combinada:
u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2} =\sqrt{(0{,}2456)^2+(0{,}4195)^2}\approx 0{,}4862\\ \mathrm{V}.
Regra prática de arredondamento: a incerteza final costuma ser arredondada para 1 (ou, às vezes, 2) algarismo significativo; aqui u_c\approx 0{,}486\\ \mathrm{V} que arredondado a um algarismo significativo fica 0{,}5\\ \mathrm{V}. Ao ajustar a média ao mesmo dígito, escreve-se a resposta final com uma casa decimal: 45{,}3\\ \mathrm{V}.
Portanto, o valor mais provável com sua incerteza (arredondada) fica
V_{\mathrm{OC}} = 45{,}3 \pm 0{,}5\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Resumo numérico que pode ser conferido rapidamente (valores calculados usados acima):
  • Soma das leituras: 634{,}24\\ \mathrm{V}.
  • Média: \overline{V}=45{,}302857\\ \mathrm{V}\approx 45{,}30\\ \mathrm{V}.
  • Desvio padrão amostral: s\approx 0{,}9189\\ \mathrm{V}.
  • Desvio padrão da média (tipo A): u_A\approx 0{,}2456\\ \mathrm{V}.
  • Incerteza padrão do instrumento (tipo B): u_B\approx 0{,}4195\\ \mathrm{V}.
  • Incerteza padrão combinada: u_c\approx 0{,}4862\\ \mathrm{V}.
  • Resultado final (arredondado): V_{\mathrm{OC}}=45{,}3\pm 0{,}5\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) \overline{V}_{\mathrm{OC}} = 45{,}30\\ \mathrm{V}
(b) Erro absoluto e erro relativo de cada medida (valores arredondados):
  1. V_1=44{,}22\\ \mathrm{V},\\ \Delta_1=0{,}721\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}63\%
  2. V_2=45{,}32\\ \mathrm{V},\\ \Delta_2=0{,}727\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}60\%
  3. V_3=47{,}32\\ \mathrm{V},\\ \Delta_3=0{,}737\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}56\%
  4. V_4=45{,}22\\ \mathrm{V},\\ \Delta_4=0{,}726\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}61\%
  5. V_5=44{,}98\\ \mathrm{V},\\ \Delta_5=0{,}725\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}61\%
  6. V_6=45{,}35\\ \mathrm{V},\\ \Delta_6=0{,}727\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}60\%
  7. V_7=46{,}43\\ \mathrm{V},\\ \Delta_7=0{,}732\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}58\%
  8. V_8=43{,}33\\ \mathrm{V},\\ \Delta_8=0{,}717\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}66\%
  9. V_9=45{,}32\\ \mathrm{V},\\ \Delta_9=0{,}727\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}60\%
  10. V_{10}=45{,}22\\ \mathrm{V},\\ \Delta_{10}=0{,}726\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}61\%
  11. V_{11}=44{,}98\\ \mathrm{V},\\ \Delta_{11}=0{,}725\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}61\%
  12. V_{12}=45{,}87\\ \mathrm{V},\\ \Delta_{12}=0{,}729\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}59\%
  13. V_{13}=45{,}23\\ \mathrm{V},\\ \Delta_{13}=0{,}726\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}60\%
  14. V_{14}=45{,}45\\ \mathrm{V},\\ \Delta_{14}=0{,}727\\ \mathrm{V},\\ \text{erro relativo}=1{,}60\%
(c) Desvio padrão da média: u_A=\dfrac{s}{\sqrt{N}}\approx 0{,}246\\ \mathrm{V}
(d) Valor mais provável com sua incerteza (incerteza combinada, arredondada):
V_{\mathrm{OC}} = 45{,}3 \pm 0{,}5\\ \mathrm{V}

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