. Si un Sistema de Fuerzas S_{1} está formado por \vec{F}_{1} \equiv(3,2,4) aplicado en P_{1}(5,2,1), \vec{F}_{2} \equiv(5,6,8) aplicado en P_{2}(4,3,4) y \vec{F}_{3} \equiv(-10,2,4) aplicado en P_{3}(5,4,2).
Y también tenemos un Sistema S_{2} que está formado por \vec{F}_{4} \equiv(7,3,2) aplicado en P_{4}\left(x_{4}, y_{4}, z_{4}\right), \vec{F}_{5} \equiv(4,6,3) aplicado en P_{5}(3,4,7) y \vec{F}_{6} \equiv\left(F_{x 6}, F_{y 6}, F_{z 6}\right) aplicado en P_{6}(1,4,3). Halle \vec{F}_{6} y P_{4} sabiendo que S_{1} y S_{2} son Sistemas de Fuerzas Equivalentes.

Passo 1

Tenemos dos sistemas de fuerzas S_{1} y S_{2}. Para que sean equivalentes deben tener el mismo resultado \vec R e o mesmo momento em relação a uma origem qualquer.
Conteúdo: resultante de um sistema de forças e cálculo de momentos (torques).

Passo 2

Calcular a resultante de S_{1}:
\vec R_{1}=\vec F_{1}+\vec F_{2}+\vec F_{3} =(3,2,4)+(5,6,8)+(-10,2,4)=(-2,10,16).
Para S_{2}:
\vec R_{2}=\vec F_{4}+\vec F_{5}+\vec F_{6} =(7,3,2)+(4,6,3)+(F_{x6},F_{y6},F_{z6}) =(11+F_{x6},\,9+F_{y6},\,5+F_{z6}).
Igualando \vec R_{2}=\vec R_{1} dá três equações:
11+F_{x6}=-2,\quad 9+F_{y6}=10,\quad 5+F_{z6}=16
Logo
\vec F_{6}=(-13,\,1,\,11).

Passo 3

Calcular o momento total de S_{1} em relação à origem:
\displaystyle \vec M_{1} =\sum_{i=1}^{3}\bigl(\vec r_{i}\times\vec F_{i}\bigr).
Feitas as contas (com \vec r_{1}=(5,2,1),\;\vec r_{2}=(4,3,4),\;\vec r_{3}=(5,4,2)):
\vec M_{1}=(18,\,-69,\,63).

Passo 4

Em S_{2}, o momento total é
\displaystyle \vec M_{2} =\vec r_{4}\times\vec F_{4} +\vec r_{5}\times\vec F_{5} +\vec r_{6}\times\vec F_{6}.
Já sabemos \vec r_{5}=(3,4,7), \vec F_{5}=(4,6,3) e \vec r_{6}=(1,4,3), \vec F_{6}=(-13,1,11).
Somando esses dois momentos obtém-se
\displaystyle \vec M_{5+6}=(11,\,-31,\,55).
Para equivalência precisamos
\vec r_{4}\times\vec F_{4} =\vec M_{1}-\vec M_{5+6} =(7,\,-38,\,8).
Seja \vec r_{4}=(x,y,z) e \vec F_{4}=(7,3,2).
O produto vetorial dá o sistema
2y-3z=7,\quad 7z-2x=-38,\quad 3x-7y=8.

Passo 5

Ao tentar resolver
\begin{cases} 2y-3z=7,\\\\ 2x-7z=38,\\\\ 3x-7y=8, \end{cases}
vemos que ele é inconsistente (as equações levam a 65=16).
Isto significa que não existe ponto P_{4} que satisfaça simultaneamente as três condições de momento.

Resposta

\displaystyle \vec F_{6}=(-13,\,1,\,11).
Não há nenhum P_{4} tal que S_{2} seja estaticamente equivalente a S_{1}; os dados do problema são incompatíveis.

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