Questão 07: As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio de um tanque são E1= 580 * 10^-6, E2= 330 * 10^-6. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. Eal =70 \mathrm{GPa}, Val = 0,33.

Passo 1

O enunciado diz que, num ponto da superfície de um tanque de alumínio, as deformações principais no plano são
\varepsilon_{1}=580\times10^{-6} e \varepsilon_{2}=330\times10^{-6}.
Como é estado plano de tensão, queremos as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} no mesmo plano, sabendo que o módulo de Young é E=70, \mathrm{GPa} e o coeficiente de Poisson é \nu=0,33.

Passo 2

Em estado plano de tensão, nas direções principais temos a Lei de Hooke em forma matricial reduzida. Nas direções 1 e 2:
\varepsilon_{1}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{1}-\nu\,\sigma_{2}\bigr),
\varepsilon_{2}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{2}-\nu\,\sigma_{1}\bigr).
Esse sistema relaciona as deformações principais \varepsilon_{1},\varepsilon_{2} às tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2}.

Passo 3

Para isolar \sigma_{1} e \sigma_{2}, resolvemos o sistema:
\begin{cases} \sigma_{1}-\nu\,\sigma_{2}=E\,\varepsilon_{1},\\\\ -\nu\,\sigma_{1}+\sigma_{2}=E\,\varepsilon_{2}. \end{cases}
A solução é
\sigma_{1} =\frac{E}{1-\nu^{2}}\bigl(\varepsilon_{1}+\nu\,\varepsilon_{2}\bigr), \quad \sigma_{2} =\frac{E}{1-\nu^{2}}\bigl(\varepsilon_{2}+\nu\,\varepsilon_{1}\bigr).

Passo 4

Bastam substituir os valores numéricos (lembre que E=70\times10^{9}\,\mathrm{Pa}):
1-\nu^{2}=1-0,33^{2}=0,8911,
\varepsilon_{1}+\nu\,\varepsilon_{2} =580\times10^{-6}+0,33\cdot330\times10^{-6} =688{,}9\times10^{-6},
\varepsilon_{2}+\nu\,\varepsilon_{1} =330\times10^{-6}+0,33\cdot580\times10^{-6} =521{,}4\times10^{-6}.
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\sigma_{1} =\frac{70\times10^{9}}{0,8911}\,(688{,}9\times10^{-6}) \approx5{,}41\times10^{7}\,\mathrm{Pa}=54{,}1\,\mathrm{MPa},
\sigma_{2} =\frac{70\times10^{9}}{0,8911}\,(521{,}4\times10^{-6}) \approx4{,}10\times10^{7}\,\mathrm{Pa}=41{,}0\,\mathrm{MPa}.

Resposta

\displaystyle \sigma_{1}\approx54{,}1\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_{2}\approx41{,}0\\ \mathrm{MPa}.

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