_[Adaptado de NISE] Um sistema de controle com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência
G(s)=Ks^2(s+4)(s+12)
a. (0,25) É possível estabilizar o sistema somente com compensador proporcional?
b. (1,00) Projete um compensador de avanço de fase para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 20,5% de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 3 segundos. Não deixe de especificar o valor de K.
c. (0,25) Sua aproximação de segunda ordem é válida?

Passo 1

O enunciado fala de um sistema em realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
G(s)=Ks^2(s+4)(s+12)
Parte (a) pergunta se um ganho proporcional basta para estabilizar. Na parte (b) precisamos projetar um compensador de avanço de fase para obter 20,5 % de ultrapassagem e tempo de acomodação Ts=3 s, e encontrar o valor de K. Na (c) avaliaremos se a aproximação de segunda ordem é válida. Vamos usar critérios de estabilidade de Routh, as fórmulas de especificação de sobrepico e tempo de acomodação para sistema de segunda ordem e a técnica de projeto por lugar das raízes/ângulo de fase.

Passo 2

(a) Característica de malha fechada:
1+G(s)=0 Longrightarrow s^2(s+4)(s+12)+K=0 ;Longrightarrow; s^4+16s^3+48s^2+K=0
Montamos a tabela de Routh:
c|cc s^4 & 1 & 48 s^3 & 16 & 0 s^2 & dfrac16cdot48-1cdot016=48 & K s^1 & dfrac48cdot0-16cdot K48=-K3 & 0 s^0 & K &
Para estabilidade todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Isso exige
-K3>0 Longrightarrow K<0
Como assumimos K>0 para realimentação negativa, não há faixa positiva de K que torne tudo positivo.
Portanto não é possível estabilizar só com compensador proporcional.

Passo 3

(b1) Para 20,5 % de ultrapassagem temos
Mp = e^-zetapiraiz1-zeta^2=0,205
Logo
-zetapiraiz1-zeta^2=ln(0,205)approx -1,586 Longrightarrow zetaapprox0,456
(b2) Para tempo de acomodação Ts em 2 % usamos
Tsapprox4zetaomegan=3 Longrightarrow omegan=43,zetaapprox2,953:rad/s
(b3) Os polos dominantes desejados são
sd=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -1,334pm j,2,641

Passo 4

(b4) Calculamos o déficit de fase do laço aberto sem compensar em sd:
ângulos dos polos em s=0 (duas vezes), -4 e -12:
varphip0 &=ang<=(sd-0)=116,3^circ(times2);Rightarrow232,6^circ, varphip4 &=ang<=(sd+4)=44,9^circ, varphip12&=ang<=(sd+12)=13,9^circ
Total de fase de G(s) em sd é
ang<= G(sd)=-l(232,6+44,9+13,9r)=-291,4^circ equiv 68,6^circpmod360
Para que ang<= G(sd)=-180^circ falta
varphirm comp=180^circ-68,6^circ=111,4^circ
Como um único estágio de avanço não pode fornecer mais que cerca de 90^circ, usaremos dois estágios idênticos, cada um fornecendo metade desse déficit, ou seja varphi1=55,7^circ.

Passo 5

(b5) Para um estágio de avanço de fase com varphi1=55,7^circ temos
sinvarphi1=0,829, beta=1-sinvarphi11+sinvarphi1approx0,094
Escolhendo a frequência de pico omegam=omegan=2,953 rad/s, os polos e zeros de cada estágio são
z=omegamraizbetaapprox2,953raiz0,094approx9,61, p=zbetaapprox9,610,094approx102,1
Dois estágios idênticos dão
Gc(s)=Kc;gl(s+9,61s+102,1gr)^2
Para achar Kc fazemos a condição de módulo l|Gc(sd),G(sd)r|=1. Numericamente obtém-se
Kcapprox4,87times10^4
Assim o ganho total em malha aberta é
Krm total=Kce o compensador é Gc(s)=4,87times10^4;gl(s+9,61s+102,1gr)^2 é

Passo 6

(c) Depois de compensar, os polos extra (originais em -4, -12 e compensador em -102,1) estão todos muito mais à esquerda do que o par dominante em -1,334pm j2,641. As constantes de tempo correspondentes ( 1/4=0,25 s, 1/12approx0,083 s) são bem menores que o tempo de oscilação dominante ( approx2,38 s), de modo que a aproximação de segunda ordem é válida.

Resposta

(a) Não, não há K>0 que estabilize só com proporcional.
(b) Para 20,5 % de ultrapassagem e Ts=3 s projetamos dois estágios de avanço idênticos com
varphi1=55,7^circ, z=9,61, p=102,1,
Gc(s)=4,87times10^4;l(tfracs+9,61s+102,1r)^2
(c) Sim, a aproximação de segunda ordem é válida, pois os outros polos ficam muitíssimo mais rápidos que o par dominante.

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