_[Adaptado de NISE] Um sistema de controle com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência
a. É possível estabilizar o sistema somente com compensador proporcional?
b. Projete um compensador de avanço de fase para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 20,5% de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 3 segundos. Não deixe de especificar o valor de K.
c. Sua aproximação de segunda ordem é válida?
Passo 1
O enunciado fala de um sistema em realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
Parte (a) pergunta se um ganho proporcional basta para estabilizar. Na parte (b) precisamos projetar um compensador de avanço de fase para obter 20,5 % de ultrapassagem e tempo de acomodação s, e encontrar o valor de . Na (c) avaliaremos se a aproximação de segunda ordem é válida. Vamos usar critérios de estabilidade de Routh, as fórmulas de especificação de sobrepico e tempo de acomodação para sistema de segunda ordem e a técnica de projeto por lugar das raízes/ângulo de fase.
Passo 2
(a) Característica de malha fechada:
Montamos a tabela de Routh:
Para estabilidade todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Isso exige
Como assumimos para realimentação negativa, não há faixa positiva de que torne tudo positivo.
Portanto não é possível estabilizar só com compensador proporcional.
Passo 3
(b1) Para 20,5 % de ultrapassagem temos
Logo
(b2) Para tempo de acomodação em 2 % usamos
(b3) Os polos dominantes desejados são
Passo 4
(b4) Calculamos o déficit de fase do laço aberto sem compensar em :
ângulos dos polos em (duas vezes), e :
Total de fase de em é
Para que falta
Como um único estágio de avanço não pode fornecer mais que cerca de , usaremos dois estágios idênticos, cada um fornecendo metade desse déficit, ou seja .
Passo 5
(b5) Para um estágio de avanço de fase com temos
Escolhendo a frequência de pico rad/s, os polos e zeros de cada estágio são
Dois estágios idênticos dão
Para achar fazemos a condição de módulo . Numericamente obtém-se
Kcapprox4,87times10^4
Assim o ganho total em malha aberta é
Krm total=Kce o compensador é Gc(s)=4,87times10^4;gl(s+9,61s+102,1gr)^2 é
Passo 6
(c) Depois de compensar, os polos extra (originais em -4, -12 e compensador em -102,1) estão todos muito mais à esquerda do que o par dominante em -1,334pm j2,641. As constantes de tempo correspondentes (1/4=0,25 s, 1/12approx0,083 s) são bem menores que o tempo de oscilação dominante (approx2,38 s), de modo que a aproximação de segunda ordem é válida.
Resposta
(a) Não, não há K>0 que estabilize só com proporcional.
(b) Para 20,5 % de ultrapassagem e Ts=3 s projetamos dois estágios de avanço idênticos com
varphi1=55,7^circ, z=9,61, p=102,1,
Gc(s)=4,87times10^4;l(tfracs+9,61s+102,1r)^2
(c) Sim, a aproximação de segunda ordem é válida, pois os outros polos ficam muitíssimo mais rápidos que o par dominante.