Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
44,72 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um sistema com 1 GDL e os seguintes dados:
m=4\\ \mathrm{kg},\qquad c=35\\ \mathrm{Ns/m},\qquad k=8\times10^{3}\\ \mathrm{N/m},
e uma excitação harmônica de amplitude
F_0=20\\ \mathrm{N}.
Pede-se: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação for
\omega=44{,}72\\ \mathrm{rad/s}.
Esses dois valores (amplitude e ângulo de fase) são as incógnitas do problema.

Passo 2

Modelo físico e forma da solução em regime permanente.
Um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica é descrito pela equação diferencial
m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+k x(t)=F_0\sin(\omega t).
Explicando os termos:
  • \;x(t)\; é o deslocamento dependente do tempo (o que queremos).
  • \;\ddot{x}(t)\; é a aceleração; multiplicada por m dá a força inercial.
  • \;c\dot{x}(t)\; é a força de amortecimento (proporcional à velocidade).
  • \;k x(t)\; é a força elástica da mola.
  • \;F_0\sin(\omega t)\; é a força externa harmônica de amplitude F_0 e frequência angular \omega.
Em regime permanente (após as transientes terem morrido) a resposta particular tem a mesma frequência da excitação, então assumimos a forma
x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
onde \;X\; é a amplitude em regime permanente e \;\varphi\; é o ângulo de fase (fase entre a resposta e a força).

Passo 3

Derivação das fórmulas para amplitude e fase (método didático).
Substituindo x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi) na equação e usando as derivadas
\dot{x}_p(t)=\omega X\cos(\omega t-\varphi),\qquad \ddot{x}_p(t)=-\omega^2 X\sin(\omega t-\varphi),
temos
-m\omega^2 X\sin(\omega t-\varphi)+c\omega X\cos(\omega t-\varphi)+kX\sin(\omega t-\varphi)=F_0\sin(\omega t).
Agora usamos identidades de seno/cosseno para escrever o lado esquerdo como combinação de \sin(\omega t) e \cos(\omega t). Agrupando coeficientes de \sin(\omega t) e \cos(\omega t) e igualando-os aos do lado direito (que tem só \sin(\omega t)) obtemos duas equações. Resolviendo essas equações resulta nas fórmulas padrão:
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{c\omega}{\,k-m\omega^2\,}\right),
onde a função arctan deve ser interpretada com cuidado de sinal (em prática usamos a forma \varphi=\operatorname{atan2}(c\omega,\;k-m\omega^2) para posicionar corretamente o ângulo no quadrante). Essas fórmulas são muito usadas em prova porque evitam resolver a equação diferencial por inteiro: assumimos a forma senoidal e determinamos amplitude e fase por balanceamento das componentes senoidais.

Passo 4

Cálculos preparatórios: frequência natural e razão entre termos.
Calcule a frequência natural não amortecida \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{8\times10^{3}}{4}}=\sqrt{2000}=44{,}72135955\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: o valor dado \omega=44{,}72\\ \mathrm{rad/s} é praticamente igual a \omega_n (estamos quase na ressonância), o que influencia fortemente a fase e a amplitude.
Calcule agora os termos que entram nas fórmulas:
m\omega^2=4\cdot(44{,}72)^2.
Faço a conta passo a passo:
(44{,}72)^2=1999{,}7184,
m\omega^2=4\cdot1999{,}7184=7998{,}8736.
A seguir
k-m\omega^2=8000-7998{,}8736=1{,}1264.
E
c\omega=35\cdot44{,}72=1565{,}2.

Passo 5

Cálculo da amplitude X.
Usando a fórmula
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
substituímos os valores numéricos:
(k-m\omega^2)^2=(1{,}1264)^2=1{,}2684\\ (\text{aprox.}),
(c\omega)^2=(1565{,}2)^2=2\,449\,851{,}04.
Soma:
1{,}2684+2\,449\,851{,}04=2\,449\,852{,}3084.
Raiz quadrada:
\sqrt{2\,449\,852{,}3084}\approx1565{,}2004.
Finalmente
X=\frac{20}{1565{,}2004}\approx0{,}0127789\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros: X\approx12{,}78\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo do ângulo de fase \varphi.
Usamos
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{c\omega}{\,k-m\omega^2\,}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1565{,}2}{1{,}1264}\right).
Calcule a razão:
\frac{1565{,}2}{1{,}1264}\approx1389{,}83.
Para um número tão grande o arco-tangente fica muito próximo de \pi/2 radianos. Calculando:
\varphi\approx1{,}570076\\ \mathrm{rad}.
Em graus (para intuição):
\varphi\approx89{,}9587^\circ.
Interpretação rápida: perto da ressonância a resposta fica defasada quase 90^\circ em relação à força externa; o amortecimento impede que seja exatamente 90^\circ.

Resposta

X=0,01278\\ \mathrm{m} (aprox. 12,78\\ \mathrm{mm})
\varphi=1,57008\\ \mathrm{rad} (aprox. 89,9587^\circ)

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