Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O enunciado dá um sistema com 1 GDL e os seguintes dados:
e uma excitação harmônica de amplitude
Pede-se: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação for
Esses dois valores (amplitude e ângulo de fase) são as incógnitas do problema.
Passo 2
Modelo físico e forma da solução em regime permanente.
Um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica é descrito pela equação diferencial
Explicando os termos:
-
é o deslocamento dependente do tempo (o que queremos). -
é a aceleração; multiplicada por dá a força inercial. -
é a força de amortecimento (proporcional à velocidade). -
é a força elástica da mola. -
é a força externa harmônica de amplitude e frequência angular .
Em regime permanente (após as transientes terem morrido) a resposta particular tem a mesma frequência da excitação, então assumimos a forma
onde
é a amplitude em regime permanente e
é o ângulo de fase (fase entre a resposta e a força).
Passo 3
Derivação das fórmulas para amplitude e fase (método didático).
Substituindo
na equação e usando as derivadas
temos
Agora usamos identidades de seno/cosseno para escrever o lado esquerdo como combinação de
e
. Agrupando coeficientes de
e
e igualando-os aos do lado direito (que tem só
) obtemos duas equações. Resolviendo essas equações resulta nas fórmulas padrão:
onde a função arctan deve ser interpretada com cuidado de sinal (em prática usamos a forma
para posicionar corretamente o ângulo no quadrante). Essas fórmulas são muito usadas em prova porque evitam resolver a equação diferencial por inteiro: assumimos a forma senoidal e determinamos amplitude e fase por balanceamento das componentes senoidais.
Passo 4
Cálculos preparatórios: frequência natural e razão entre termos.
Calcule a frequência natural não amortecida
:
Observação: o valor dado
é praticamente igual a
(estamos quase na ressonância), o que influencia fortemente a fase e a amplitude.
Calcule agora os termos que entram nas fórmulas:
Faço a conta passo a passo:
A seguir
E
Passo 5
Cálculo da amplitude
.
Usando a fórmula
substituímos os valores numéricos:
Soma:
Raiz quadrada:
Finalmente
Convertendo para milímetros:
.
Passo 6
Cálculo do ângulo de fase
.
Usamos
Calcule a razão:
Para um número tão grande o arco-tangente fica muito próximo de
radianos. Calculando:
Em graus (para intuição):
Interpretação rápida: perto da ressonância a resposta fica defasada quase
em relação à força externa; o amortecimento impede que seja exatamente
.