Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
41,83 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de um grau de liberdade com os seguintes dados (cada item é uma informação relevante que vamos usar):
\;m=4\\ \mathrm{kg} (massa),
\;c=35\\ \mathrm{Ns/m} (amortecimento viscoso),
\;k=8\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m} (rigidez),
a força harmônica de amplitude \;F_{0}=20\\ \mathrm{N},
e a frequência de excitação \;\omega=41{,}83\\ \mathrm{rad/s}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a amplitude do movimento em regime permanente (ou seja, a amplitude da resposta forçada estacionária).
  • Determinar o ângulo de fase (defasagem entre a força aplicada e o deslocamento) para \omega=41{,}83\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Equação do movimento e hipótese do regime permanente.
A equação diferencial do sistema forçado amortecido é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = F_{0}\sin(\omega t).
Em regime permanente (resposta forçada), procuramos uma solução harmônica da forma
x(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
onde:
  • X é a amplitude (o que queremos encontrar);
  • \varphi é a defasagem positiva quando a resposta está atrasada em relação à força (ou seja, x lags da força por \varphi).

Passo 3

Derivadas da solução assumida e substituição na equação.
Derivando x(t)=X\sin(\omega t-\varphi) obtemos:
\dot{x}(t)=X\omega\cos(\omega t-\varphi),
\ddot{x}(t)=-X\omega^{2}\sin(\omega t-\varphi).
Substituindo na equação do movimento:
m(-X\omega^{2}\sin(\omega t-\varphi)) + c(X\omega\cos(\omega t-\varphi)) + k(X\sin(\omega t-\varphi)) = F_{0}\sin(\omega t).

Passo 4

Separação em termos de \sin(\omega t) e \cos(\omega t) e obtenção das equações para X e \varphi.
Usamos as identidades
\sin(\omega t-\varphi)=\sin(\omega t)\cos\varphi - \cos(\omega t)\sin\varphi,
\cos(\omega t-\varphi)=\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi.
Ao substituir e agrupar os coeficientes de \sin(\omega t) e \cos(\omega t) obtemos duas equações (coeficiente de \sin(\omega t) e coeficiente de \cos(\omega t)) que devem ser satisfeitas simultaneamente. Sem detalhar cada passo algébrico, as expressões padrões que resultam são:
amplitude:
X=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}},
ângulo de fase (entre a força e o deslocamento, resposta atrasada quando \varphi>0):
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{c\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}\right).
Explicação rápida do que significam os termos dessas fórmulas:
  • k-m\omega^{2} representa a parte “reativa” (diferença entre rigidez e inércia àquela frequência);
  • c\omega representa a parte “dissipativa” (amortecimento) que causa defasagem;
  • o denominador da expressão de X é a amplitude da impedância dinâmica do sistema.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo as quantidades intermediárias para \omega=41{,}83\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Calcular \omega^{2}:
\omega^{2} = (41{,}83)^{2} = 1749{,}7489\\ (\text{aprox.}).
  1. Calcular m\omega^{2}:
m\omega^{2} = 4\cdot 1749{,}7489 = 6998{,}9956\\ \mathrm{N/m}\\ (\text{pois }m\omega^{2}\text{ tem unidades de N/m}).
  1. Calcular a diferença k-m\omega^{2}:
k-m\omega^{2} = 8{,}0\times 10^{3} - 6998{,}9956 = 1001{,}0044\\ \mathrm{N/m}.
  1. Calcular c\omega:
c\omega = 35\cdot 41{,}83 = 1464{,}05\\ \mathrm{(Ns/m)\cdot (rad/s)} = 1464{,}05\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Calcular a amplitude X usando a fórmula:
X=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Substituindo números:
(k-m\omega^{2})^{2} = (1001{,}0044)^{2} \approx 1\,002\,009{,}809,
(c\omega)^{2} = (1464{,}05)^{2} \approx 2\,143\,442{,}403.
Somando:
\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}} \approx \sqrt{3\,145\,452{,}212} \approx 1773{,}542.
Logo:
X \approx \dfrac{20}{1773{,}542} \approx 0{,}0112847\\ \mathrm{m}.
Para leitura mais prática: X\approx 0{,}01128\\ \mathrm{m} = 11{,}28\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular o ângulo de fase \varphi.
Usamos
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{c\omega}{\,k-m\omega^{2}\,}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1464{,}05}{1001{,}0044}\right)=\arctan(1{,}462474\ldots).
Calculando a arctan:
\varphi \approx 0{,}9705\\ \mathrm{rad} \approx 55{,}6^{\circ}.
Interpretação: \varphi>0 significa que o deslocamento está atrasado em relação à força aplicada por aproximadamente 55{,}6^{\circ} (ou 0{,}9705 rad). Em notação de tempo, se a força for F_{0}\sin(\omega t), a resposta é aproximadamente x(t)=X\sin(\omega t - \varphi).

Resposta

X \approx 0,011285\\ \mathrm{m} (≈ 11,285\\ \mathrm{mm})
\varphi \approx 55,6^\circ (≈ 0,9705\\ \mathrm{rad})

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