Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O enunciado fornece um sistema de um grau de liberdade com os seguintes dados (cada item é uma informação relevante que vamos usar):
(massa),
(amortecimento viscoso),
(rigidez),
a força harmônica de amplitude ,
e a frequência de excitação .
a força harmônica de amplitude
e a frequência de excitação
O que o enunciado pede:
- Determinar a amplitude do movimento em regime permanente (ou seja, a amplitude da resposta forçada estacionária).
- Determinar o ângulo de fase (defasagem entre a força aplicada e o deslocamento) para
.
Passo 2
Equação do movimento e hipótese do regime permanente.
A equação diferencial do sistema forçado amortecido é
Em regime permanente (resposta forçada), procuramos uma solução harmônica da forma
onde:
-
é a amplitude (o que queremos encontrar); -
é a defasagem positiva quando a resposta está atrasada em relação à força (ou seja, lags da força por ).
Passo 3
Derivadas da solução assumida e substituição na equação.
Derivando
obtemos:
Substituindo na equação do movimento:
Passo 4
Separação em termos de
e
e obtenção das equações para
e
.
Usamos as identidades
Ao substituir e agrupar os coeficientes de
e
obtemos duas equações (coeficiente de
e coeficiente de
) que devem ser satisfeitas simultaneamente. Sem detalhar cada passo algébrico, as expressões padrões que resultam são:
amplitude:
ângulo de fase (entre a força e o deslocamento, resposta atrasada quando
):
Explicação rápida do que significam os termos dessas fórmulas:
-
representa a parte “reativa” (diferença entre rigidez e inércia àquela frequência); -
representa a parte “dissipativa” (amortecimento) que causa defasagem; - o denominador da expressão de
é a amplitude da impedância dinâmica do sistema.
Passo 5
Vamos calcular passo a passo as quantidades intermediárias para
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a diferença
:
- Calcular
:
Passo 6
Calcular a amplitude
usando a fórmula:
Substituindo números:
Somando:
Logo:
Para leitura mais prática:
Passo 7
Calcular o ângulo de fase
.
Usamos
Calculando a arctan:
Interpretação:
significa que o deslocamento está atrasado em relação à força aplicada por aproximadamente
(ou
rad). Em notação de tempo, se a força for
, a resposta é aproximadamente
.