Um sistema com 1 GDL possui \mathrm{m}=4 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=35 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=\boldsymbol{8} \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
35,35 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase da resposta forçada quando a frequência da excitação é \,35,35\\ \mathrm{rad/s}.
Dados fornecidos:
m = 4\\ \mathrm{kg},\qquad c = 35\\ \mathrm{Ns/m},\qquad k = 8\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m},\qquad F_{0} = 20\\ \mathrm{N},
frequência de excitação:
\omega = 35,35\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Apresentando a fórmula que usamos (explicação didática):
Um oscilador linear massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica F(t)=F_{0}\cos(\omega t) tem, em regime permanente, uma resposta harmônica da forma
x(t)=X\cos(\omega t - \varphi),
onde a amplitude \,X e o ângulo de fase \varphi são dados por
X = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}
e
\varphi = \arctan\!\left(\frac{c\omega}{\,k - m\omega^{2}\,}\right).
Explicando as variáveis: m é a massa, c o coeficiente de amortecimento viscoso, k a rigidez, \omega a frequência angular da força externa, F_{0} a amplitude da força. A amplitude X vem do balanceamento entre a força aplicada e a impedância dinâmica do sistema; o ângulo \varphi indica o atraso da resposta em relação à força.

Passo 3

Cálculo de quantidades intermediárias úteis (para entender a ordem de grandeza):
Calculemos a frequência natural não amortecida \omega_{n} e o fator de amortecimento adimensional \zeta só para referência:
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{8\times10^{3}}{4}}=\sqrt{2000}=44,721\\ \mathrm{rad/s}.
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}=\frac{35}{2\cdot 4\cdot 44,721}\approx 0,0978.
Comentário: \omega=35,35\\ \mathrm{rad/s} é menor que \omega_{n}, e o amortecimento é relativamente pequeno ( \zeta\approx 0,098), então a resposta ainda está na região de baixa frequência em relação à ressonância.

Passo 4

Calcular os termos que aparecem nas fórmulas:
m\omega^{2}=4\cdot(35,35)^{2}=4\cdot1249,6225=4998,49.
k - m\omega^{2}=8000 - 4998,49 = 3001,51.
c\omega = 35\cdot 35,35 = 1237,25.
Expliquei: aqui calculei (35,35)^{2}=1249,6225 (produto direto), multipliquei por m para obter m\omega^{2}, subtraí de k e calculei c\omega. Todas estas quantidades têm unidade \mathrm{N/m} ou \mathrm{N} compatível para entrar na raiz.

Passo 5

Montando o denominador da expressão da amplitude e calculando:
\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}} = \sqrt{(3001,51)^{2} + (1237,25)^{2}}.
Calculemos os quadrados:
(3001,51)^{2}=9\,009\,062,2801, \qquad (1237,25)^{2}=1\,530\,788,0625.
Somando:
(3001,51)^{2} + (1237,25)^{2} = 10\,539\,850,3426.
Extraindo a raiz:
\sqrt{10\,539\,850,3426}\approx 3246,51.
Observação: mostrei cada passo (quadrados, soma, raiz) para que você veja de onde vem o número que divide F_{0}.

Passo 6

Calcular a amplitude X:
X = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}} = \frac{20}{3246,51}\approx 0,0061629\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais amigáveis:
X\approx 0,006163\\ \mathrm{m}=6,163\\ \mathrm{mm}.
Dica prática para prova: normalmente basta apresentar X em metros com 2–3 casas significativas ou em mm se quiser destacar que é pequeno.

Passo 7

Calcular o ângulo de fase \varphi:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{c\omega}{\,k - m\omega^{2}\,}\right) = \arctan\!\left(\frac{1237,25}{3001,51}\right) = \arctan(0,4122)\approx 0,391\\ \mathrm{rad}.
Converter para graus (útil para interpretação):
\varphi \approx 0,391\\ \mathrm{rad}\approx 22,4^{\circ}.
Observação sobre quadrante: como k - m\omega^{2}>0 e c\omega>0, o argumento da arctan é positivo e \varphi fica entre 0 e \tfrac{\pi}{2}, ou seja, a resposta está defasada atrasando a força por cerca de 22,4^\circ.

Passo 8

Resumo final (rápido comentário de prova):
  • Use sempre a fórmula da impedância dinâmica para amplitude; calcule k-m\omega^{2} e c\omega antes de montar a raiz.
  • Para o ângulo, verifique o sinal de k-m\omega^{2} para saber se deve adicionar \pi (caso fosse negativo). Aqui não foi necessário.
  • Valores finais abaixo.

Resposta

X \approx 0,006163\\ \mathrm{m}=6,163\\ \mathrm{mm}
\varphi \approx 0,391\\ \mathrm{rad}\approx 22,4^{\circ}

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