Um sistema com 1 GDL possui
,
, e está submetido uma excitação harmônica de amplitude 20 N . Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase quando a frequência da excitação (frequência da força externa) for igual a:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase da resposta forçada quando a frequência da excitação é
.
Dados fornecidos:
frequência de excitação:
Passo 2
Apresentando a fórmula que usamos (explicação didática):
Um oscilador linear massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica tem, em regime permanente, uma resposta harmônica da forma
Um oscilador linear massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica
onde a amplitude
e o ângulo de fase
são dados por
e
Explicando as variáveis:
é a massa,
o coeficiente de amortecimento viscoso,
a rigidez,
a frequência angular da força externa,
a amplitude da força. A amplitude
vem do balanceamento entre a força aplicada e a impedância dinâmica do sistema; o ângulo
indica o atraso da resposta em relação à força.
Passo 3
Cálculo de quantidades intermediárias úteis (para entender a ordem de grandeza):
Calculemos a frequência natural não amortecida e o fator de amortecimento adimensional
só para referência:
Calculemos a frequência natural não amortecida
Comentário:
é menor que
, e o amortecimento é relativamente pequeno (
), então a resposta ainda está na região de baixa frequência em relação à ressonância.
Passo 4
Calcular os termos que aparecem nas fórmulas:
Expliquei: aqui calculei
(produto direto), multipliquei por
para obter
, subtraí de
e calculei
. Todas estas quantidades têm unidade
ou
compatível para entrar na raiz.
Passo 5
Montando o denominador da expressão da amplitude e calculando:
Calculemos os quadrados:
Somando:
Extraindo a raiz:
Observação: mostrei cada passo (quadrados, soma, raiz) para que você veja de onde vem o número que divide
.
Passo 6
Calcular a amplitude
:
Converter para unidades mais amigáveis:
Dica prática para prova: normalmente basta apresentar
em metros com 2–3 casas significativas ou em mm se quiser destacar que é pequeno.
Passo 7
Calcular o ângulo de fase
:
Converter para graus (útil para interpretação):
Observação sobre quadrante: como
e
, o argumento da arctan é positivo e
fica entre
e
, ou seja, a resposta está defasada atrasando a força por cerca de
.
Passo 8
Resumo final (rápido comentário de prova):
- Use sempre a fórmula da impedância dinâmica para amplitude; calcule
e antes de montar a raiz. - Para o ângulo, verifique o sinal de
para saber se deve adicionar (caso fosse negativo). Aqui não foi necessário. - Valores finais abaixo.