O sistema \left\{\begin{array}{l}3 x+a y+4 z=0 \\\ x+y+3 z=-5 \\\\ 2 x-3 y+z=b\end{array}\right. não admite solução para que valores de a e b.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com incógnitas x,y,z\) e parâmetros \(a,b\):
\[\begin{cases} 3x + a y + 4z = 0,\\[4pt] x + y + 3z = -5,\\[4pt] 2x - 3y + z = b. \end{cases}
O que se pede: determinar para quais valores de a\] e \(b o sistema não admite solução (isto é, é inconsistente).]
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do critério que vamos usar).
Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{c} (onde A é a matriz dos cofatores e \mathbf{c} o vetor de termos independentes), a condição necessária e suficiente de existência de solução é que o posto (rank) da matriz A seja igual ao posto da matriz aumentada [A|\mathbf{c}].
Se \det(A)\neq0 então A é invertível, o posto de A é 3 (neste caso) e existe exatamente uma solução para qualquer vetor \mathbf{c}. Logo, inconsistência só pode ocorrer quando \det(A)=0.
Portanto primeiro calculamos \det(A) (determinante da matriz dos coeficientes) em função de a. Se \det(A)\neq0 não há valores de b que tornem o sistema sem solução. Se \det(A)=0 (caso singular) então precisamos comparar os postos de A e de [A|\mathbf{c}] para ver para quais b o sistema fica inconsistente.
Agora calculamos \det(A). A matriz dos coeficientes é
Conclusão intermediária: \det(A)=5(a+2). Portanto \det(A)=0 exatamente quando a=-2. Para a\neq -2 o determinante é não nulo e o sistema tem solução única para qualquer b; assim inconsistência só pode ocorrer quando a=-2.]
Passo 3
Analisar o caso singular a=-2\) (a única possibilidade de falta de solução). Substituindo \(a=-2\) nas equações, o sistema fica
\[\begin{cases} 3x -2y +4z = 0,\\[4pt] x + y + 3z = -5,\\[4pt] 2x -3y + z = b. \end{cases}
Construímos a matriz aumentada [A|\mathbf{c}]\] e fazemos eliminação para comparar os postos:
\[[A|\mathbf{c}]= \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & -5\\[4pt] 2 & -3 & 1 & b \end{pmatrix}.\]
Para simplificar a eliminação, trocamos a 1ª linha pela 2ª (para ter pivô \(1):
Assim a forma escalonada revela uma última linha (0\\\ 0\\\ 0\mid b-5).
Interpretação dos postos:
A parte de coeficientes (matriz A com a=-2) tem duas linhas não-nulas depois da eliminação, logo \operatorname{rank}(A)=2.
A matriz aumentada terá posto 2 se a linha final for nula, isto é, se b-5=0; caso contrário (se b-5\neq0) a linha final é não-nula e \operatorname{rank}([A|\mathbf{c}])=3.
Pelo critério de existência: o sistema é consistente exatamente quando \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{c}]). Portanto, para a=-2 o sistema é consistente apenas se b-5=0 (isto é b=5); se b\neq5 então \operatorname{rank}([A|\mathbf{c}])=3>\operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é inconsistente (não admite solução).]
Passo 4
Resumo final das possibilidades (sem repetir a resposta final isoladamente):
Para a\neq -2 tem-se \det(A)\neq0, logo o sistema tem solução única para qualquer b.
Para a=-2 deve-se verificar b: se b=5 o sistema é dependente e tem infinitas soluções; se b\neq5 o sistema é inconsistente (não admite solução).