Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta:
\left\{\begin{array}{l}3 x-y=1 \\\\ -x+2 y=-2 \\\\ 2 x+4 y=0\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Sistema de três equações e duas incógnitas:
\begin{cases} 3x - y = 1,\\[4pt] -x + 2y = -2,\\[4pt] 2x + 4y = 0. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    1. Resolver o sistema (ou seja, encontrar (x,y) que satisfaçam todas as equações simultaneamente).
    2. Classificar o sistema (por exemplo: consistente com única solução, consistente com infinitas soluções, ou inconsistente/sem solução).
    3. Verificar se a solução encontrada está correta (ou seja, checar substituindo nas equações).]

Passo 2

Escolhendo um método e explicando-o de forma simples (sem pular etapas).
  • Como são poucas equações e incógnitas, o método da substituição é o mais direto: isolar uma variável em uma equação e substituir nas outras.
  • A ideia da substituição: se temos uma expressão \;y=\text{algo em }x\; obtida pela primeira equação, então qualquer solução comum deve satisfazer essa expressão; substituindo essa expressão nas outras equações obtemos equações só em x que podemos resolver.

Passo 3

Isolar y na primeira equação e escrever isso claramente.
  • Da primeira equação \;3x-y=1\; isolamos y:
-y = 1-3x \quad\Rightarrow\quad y = 3x-1.
  • Aqui expliquei cada passo: passei 3x para o outro lado mudando de sinal e depois multipliquei por -1 para obter y.

Passo 4

Substituir y=3x-1 na segunda equação e resolver para x.
  • A segunda equação é -x+2y=-2. Substituindo:
-x + 2(3x-1) = -2.
  • Desenvolvendo a multiplicação:
-x + 6x -2 = -2.
  • Somando os termos em x e isolando:
5x -2 = -2 \quad\Rightarrow\quad 5x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
  • Portanto encontramos x=0.

Passo 5

Encontrar y usando y=3x-1.
  • Substituindo x=0 em y=3x-1:
y = 3\cdot 0 - 1 = -1.
  • Assim a solução das duas primeiras equações, por substituição, é (x,y) = (0,-1).

Passo 6

Verificar se (0,-1) satisfaz a terceira equação (verificação obrigatória).
  • A terceira equação é 2x+4y=0. Substituindo (0,-1):
2\cdot 0 + 4\cdot (-1) = 0 - 4 = -4.
  • O resultado é -4, que não é igual a 0. Logo (0,-1) NÃO satisfaz a terceira equação.

Passo 7

Interpretação e classificação final do sistema (explicando o porquê).
  • Encontramos um par (0,-1) que satisfaz as duas primeiras equações, mas essa solução não satisfaz a terceira. Para que o sistema original (as três equações) tivesse solução, deveria existir um par (x,y) que satisfaça todas as três simultaneamente.
  • Como não existe solução comum às três equações (as duas primeiras forçam (0,-1), que contradiz a terceira), o sistema é inconsistente, isto é, não tem solução. Outra forma de dizer é: o sistema é incompatível.
  • Observação adicional (intuitiva): com três equações em duas incógnitas geralmente se obtém uma contradição a menos que uma das equações seja combinação linear das outras; aqui a terceira não é combinação compatível das duas primeiras (poderia checar por combinação linear e ver que as constantes não batem), então ocorre incompatibilidade.

Resposta

Classificação: sistema incompatível (sem solução).
Solução das duas primeiras equações: (0,-1), que não satisfaz a terceira equação, portanto não é solução do sistema completo.

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