Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta: \left\{\begin{array}{l}3 x-y=1 \\\\ -x+2 y=-2 \\\\ 2 x+4 y=0\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Resolver o sistema (ou seja, encontrar (x,y) que satisfaçam todas as equações simultaneamente).
Classificar o sistema (por exemplo: consistente com única solução, consistente com infinitas soluções, ou inconsistente/sem solução).
Verificar se a solução encontrada está correta (ou seja, checar substituindo nas equações).]
Passo 2
Escolhendo um método e explicando-o de forma simples (sem pular etapas).
Como são poucas equações e incógnitas, o método da substituição é o mais direto: isolar uma variável em uma equação e substituir nas outras.
A ideia da substituição: se temos uma expressão \;y=\text{algo em }x\; obtida pela primeira equação, então qualquer solução comum deve satisfazer essa expressão; substituindo essa expressão nas outras equações obtemos equações só em x que podemos resolver.
Passo 3
Isolar y na primeira equação e escrever isso claramente.
Da primeira equação \;3x-y=1\; isolamos y:
-y = 1-3x \quad\Rightarrow\quad y = 3x-1.
Aqui expliquei cada passo: passei 3x para o outro lado mudando de sinal e depois multipliquei por -1 para obter y.
Passo 4
Substituir y=3x-1 na segunda equação e resolver para x.
Assim a solução das duas primeiras equações, por substituição, é (x,y) = (0,-1).
Passo 6
Verificar se (0,-1) satisfaz a terceira equação (verificação obrigatória).
A terceira equação é 2x+4y=0. Substituindo (0,-1):
2\cdot 0 + 4\cdot (-1) = 0 - 4 = -4.
O resultado é -4, que não é igual a 0. Logo (0,-1) NÃO satisfaz a terceira equação.
Passo 7
Interpretação e classificação final do sistema (explicando o porquê).
Encontramos um par (0,-1) que satisfaz as duas primeiras equações, mas essa solução não satisfaz a terceira. Para que o sistema original (as três equações) tivesse solução, deveria existir um par (x,y) que satisfaça todas as três simultaneamente.
Como não existe solução comum às três equações (as duas primeiras forçam (0,-1), que contradiz a terceira), o sistema é inconsistente, isto é, não tem solução. Outra forma de dizer é: o sistema é incompatível.
Observação adicional (intuitiva): com três equações em duas incógnitas geralmente se obtém uma contradição a menos que uma das equações seja combinação linear das outras; aqui a terceira não é combinação compatível das duas primeiras (poderia checar por combinação linear e ver que as constantes não batem), então ocorre incompatibilidade.
Resposta
Classificação: sistema incompatível (sem solução).
Solução das duas primeiras equações: (0,-1), que não satisfaz a terceira equação, portanto não é solução do sistema completo.