O sistema \left\{\begin{array}{l}3 x+a y+4 z=0 \\\ x+y+3 z=-5 \\\\ 2 x-3 y+z=b\end{array}\right. não admite solução para que valores de a e b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com incógnitas x,y,z\) e parâmetros \(a,b\): \[\begin{cases} 3x + a y + 4z = 0,\\[4pt] x + y + 3z = -5,\\[4pt] 2x - 3y + z = b. \end{cases}
O que se pede: determinar para quais valores de a\] e \(b o sistema não admite solução (isto é, é inconsistente).]

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do critério que vamos usar).
  • Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{c} (onde A é a matriz dos cofatores e \mathbf{c} o vetor de termos independentes), a condição necessária e suficiente de existência de solução é que o posto (rank) da matriz A seja igual ao posto da matriz aumentada [A|\mathbf{c}].
  • Se \det(A)\neq0 então A é invertível, o posto de A é 3 (neste caso) e existe exatamente uma solução para qualquer vetor \mathbf{c}. Logo, inconsistência só pode ocorrer quando \det(A)=0.
  • Portanto primeiro calculamos \det(A) (determinante da matriz dos coeficientes) em função de a. Se \det(A)\neq0 não há valores de b que tornem o sistema sem solução. Se \det(A)=0 (caso singular) então precisamos comparar os postos de A e de [A|\mathbf{c}] para ver para quais b o sistema fica inconsistente.
Agora calculamos \det(A). A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 3 & a & 4\\[4pt] 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus), temos
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}1&3\\\ -3&1\end{pmatrix} - a\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&1\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-3\end{pmatrix}.
Calculando cada determinante menor:
\det\begin{pmatrix}1&3\\\ -3&1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot(-3)=1+9=10,
\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot2=1-6=-5,
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-1\cdot2=-3-2=-5.
Substituindo:
\det(A)=3\cdot10 - a\cdot(-5) +4\cdot(-5) =30+5a-20=10+5a=5(a+2).
Conclusão intermediária: \det(A)=5(a+2). Portanto \det(A)=0 exatamente quando a=-2. Para a\neq -2 o determinante é não nulo e o sistema tem solução única para qualquer b; assim inconsistência só pode ocorrer quando a=-2.]

Passo 3

Analisar o caso singular a=-2\) (a única possibilidade de falta de solução). Substituindo \(a=-2\) nas equações, o sistema fica \[\begin{cases} 3x -2y +4z = 0,\\[4pt] x + y + 3z = -5,\\[4pt] 2x -3y + z = b. \end{cases}
Construímos a matriz aumentada [A|\mathbf{c}]\] e fazemos eliminação para comparar os postos: \[[A|\mathbf{c}]= \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & -5\\[4pt] 2 & -3 & 1 & b \end{pmatrix}.\] Para simplificar a eliminação, trocamos a 1ª linha pela 2ª (para ter pivô \(1):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -5\\[4pt] 3 & -2 & 4 & 0\\[4pt] 2 & -3 & 1 & b \end{pmatrix}.
Eliminando abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2: \\ (3-3,\, -2-3,\, 4-9,\, 0-3(-5)) = (0,\,-5,\,-5,\\\ 15).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: \\ (2-2,\, -3-2,\, 1-6,\, b-2(-5)) = (0,\,-5,\,-5,\\ b+10).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -5\\[4pt] 0 & -5 & -5 & 15\\[4pt] 0 & -5 & -5 & b+10 \end{pmatrix}.
Agora subtraímos R_2 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 = (0,0,0,\\ b+10-15)=(0,0,0,\\ b-5).
Assim a forma escalonada revela uma última linha (0\\\ 0\\\ 0\mid b-5).
Interpretação dos postos:
  • A parte de coeficientes (matriz A com a=-2) tem duas linhas não-nulas depois da eliminação, logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz aumentada terá posto 2 se a linha final for nula, isto é, se b-5=0; caso contrário (se b-5\neq0) a linha final é não-nula e \operatorname{rank}([A|\mathbf{c}])=3.
Pelo critério de existência: o sistema é consistente exatamente quando \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{c}]). Portanto, para a=-2 o sistema é consistente apenas se b-5=0 (isto é b=5); se b\neq5 então \operatorname{rank}([A|\mathbf{c}])=3>\operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é inconsistente (não admite solução).]

Passo 4

Resumo final das possibilidades (sem repetir a resposta final isoladamente):
  • Para a\neq -2 tem-se \det(A)\neq0, logo o sistema tem solução única para qualquer b.
  • Para a=-2 deve-se verificar b: se b=5 o sistema é dependente e tem infinitas soluções; se b\neq5 o sistema é inconsistente (não admite solução).

Resposta

a=-2,\\ b\neq5

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