1. Se um sistema linear homogêneo de n equações e n incógnitas tiver uma matriz aumentada correspondente com uma forma escalonada reduzida com n pivôs, então o sistema linear só tem a solução trivial.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema homogêneo de n equações e n incógnitas cuja matriz aumentada, na forma escalonada reduzida, possui n pivôs. O conteúdo envolvido é o conceito de posto (rank) de uma matriz e a relação entre pivôs, variáveis livres e soluções de um sistema homogêneo.

Passo 2

Se a forma escalonada reduzida da matriz ampliada tem n pivôs em um sistema de n incógnitas, então o posto da matriz dos coeficientes satisfaz
\mathrm{rank}(A)=n.

Passo 3

Como \mathrm{rank}(A)=n e há exatamente n colunas, todas as colunas são linearmente independentes e não há variáveis livres no sistema.

Passo 4

Em um sistema homogêneo, a ausência de variáveis livres significa que a única solução possível é a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.

Resposta

Verdadeiro.

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