Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
y(t)=12 integral-infty^infty x(tau)(de
O sistema é sem memória? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado e definir o que precisamos.
Enunciado:
Temos um sistema contínuo no tempo descrito por
y(t)=12integral-infty^inftyx(tau)l(de
Pergunta: “O sistema é sem memória? Justifique.”
Conteúdo da matéria: propriedades de sistemas (memória vs. sem memória) e uso da propriedade “sifting” (ou “amostragem”) do delta de Dirac.
O que vamos precisar:
  • Definição de sistema sem memória: depende só de no mesmo instante .
  • Propriedade do impulso :
    .

Passo 2

Vamos simplificar a integral usando a propriedade “sifting” do delta.
  1. Para o primeiro termo:
integral-infty^infty x(tau),de
  1. Para o segundo termo:
integral-infty^infty x(tau),de
Aqui fazemos a troca de variável integral x(tau),de:
y(t)=12l[x(t)-x(-t)r]
Logo, juntando tudo:

Passo 3

Lembra da definição de sistema sem memória?
Um sistema é sem memória se, para cada instante y(t)=tfrac12l[x(t)-x(-t)r] , a saída depende somente de .
Aqui nossa expressão é
Percebe que, além de , aparece .
Isso significa que, para calcular num instante , precisamos saber o valor de em , que é outro instante diferente de (quando ).

Resposta

O sistema não é sem memória, pois a saída em depende de , ou seja, de um valor do sinal de entrada num instante diferente de .

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