O sistema linear
\left\{\begin{array}{c} x+y=0 \\\ x+z=0 \\\ y+m z=0 \end{array}\right.
é indeterminado para:
a) todo m real
b) nenhum m real
c) m=1
d) m=-1
e) m=0

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x+y=0,\\\ x+z=0,\\\ y+m\,z=0, \end{cases}
e pede para encontrar o valor de m que torna o sistema indeterminado (isto é, admite soluções não triviais). O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares homogêneos pelo critério do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante. A matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}.
O determinante de A é dado por
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & m\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & m\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & m\end{pmatrix} =0\cdot m - 1\cdot1 = -1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & m\end{pmatrix} =1\cdot m - 1\cdot0 = m.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-1) - 1\cdot m = -1 - m = -(m+1).

Passo 4

Para que o sistema homogêneo seja indeterminado (infinitas soluções) precisamos de \det(A)=0. Assim
-(m+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad m+1=0 \quad\Longrightarrow\quad m=-1.

Resposta

d) m=-1

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