Um sistema massa mola amortecido é modelado pela equação diferencial fornecida abaixo. Obtenha a função que determina a posição da massa em função do tempo. As condições iniciais são
e
. Determine a posição da massa após 60 segundos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola amortecido descrito pela equação diferencial $ y’’ + 3y’ + 2y = 3 $. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que mostra a posição da massa ao longo do tempo, usando as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar condições iniciais para determinar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução da forma $ y_h(t) = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo $ y_h(t) = e^{rt} $ na equação homogênea, obtemos:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 3r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = 3 $. Como o lado direito é uma constante, assumimos uma solução particular também constante. Vamos supor que $ y_p(t) = A $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Substituindo $ y_p(t) = A $ na equação diferencial:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, usamos $ y(0) = 1 $:
Passo 9
Em seguida, calculamos a derivada $ y’(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 11
Agora que encontramos $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = \frac{1}{2} $, substituímos de volta na solução geral:
Passo 12
Finalmente, para encontrar a posição da massa após 60 segundos, substituímos $ t = 60 $ na função $ y(t) $:
Como $ e^{-60} $ e $ e^{-120} $ são números extremamente pequenos próximos de zero, podemos aproximar:
Resposta
A posição da massa após 60 segundos é aproximadamente $ \frac{3}{2} $ metros.