Um sistema massa mola amortecido é modelado pela equação diferencial fornecida abaixo. Obtenha a função que determina a posição da massa em função do tempo. As condições iniciais são y(0)=1 e y^prime(0)=0. Determine a posição da massa após 60 segundos
y^prime prime+3 y^prime+2 y=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema massa-mola amortecido descrito pela equação diferencial $ y’’ + 3y’ + 2y = 3 $. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que mostra a posição da massa ao longo do tempo, usando as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como aplicar condições iniciais para determinar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução da forma $ y_h(t) = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo $ y_h(t) = e^{rt} $ na equação homogênea, obtemos:
yh(t) = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
r^2 e^rt + 3r e^rt + 2 e^rt = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 3r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 3r + 2 = 0
Então, temos duas soluções:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
r1 = -1 e r2 = -2
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = 3 $. Como o lado direito é uma constante, assumimos uma solução particular também constante. Vamos supor que $ y_p(t) = A $, onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Substituindo $ y_p(t) = A $ na equação diferencial:
yp(t) = A
Então, a solução particular é:
0 + 0 + 2A = 3 implies 2A = 3 implies A = 32

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + 32

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, usamos $ y(0) = 1 $:
C1

Passo 9

Em seguida, calculamos a derivada $ y’(t) $:
y'(t)
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
y'(t) = -C1 e^-t - 2C2 e^-2t
Agora temos um sistema de duas equações:
y'(0) = 0

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
-C1 - 2C2 = 0 implies C1 = -2C2
Substituindo na primeira equação:
-2C2 + C2 = -12 implies -C2 = -12 implies C2 = 12
Então,
C1 = -2 times 12 = -1

Passo 11

Agora que encontramos $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = \frac{1}{2} $, substituímos de volta na solução geral:
C1 = -1

Passo 12

Finalmente, para encontrar a posição da massa após 60 segundos, substituímos $ t = 60 $ na função $ y(t) $:
t = 60
Como $ e^{-60} $ e $ e^{-120} $ são números extremamente pequenos próximos de zero, podemos aproximar:
y(t)

Resposta

A posição da massa após 60 segundos é aproximadamente $ \frac{3}{2} $ metros.

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