Resolvendo o Problema de Valor Inicial - PVI:
y^prime+y=e^-t, y(0)=5
Obtém-se:
a) y(t)=cos (5 t)
b) y(t)=(t+5) e^-t
c) y(t)=sen(5 t)
d) y(t)=t e^-t+sen(5 t)
e) y(t)=5 e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação que temos é:
y^prime + y = e^-t, y(0) = 5
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, vamos seguir os passos!

Passo 2

Primeiro, identifique os termos na equação. A equação está na forma:
y^prime + P(t) cdot y = Q(t)
Onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(t) = e^integral P(t) , dt ). O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^t cdot y^prime + e^t cdot y = e^t cdot e^-t :
e^t cdot e^-t = e^0 = 1
Simplificando o lado direito:
e^t y^prime + e^t y = 1
Então, a equação fica:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt [e^t y] = 1 . Ou seja:
integral ddt [e^t y] , dt = integral 1 , dt
Agora, integramos ambos os lados em relação a e^t y = t + C :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y = e^-t (t + C) :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 5 = e^0 (0 + C) 5 = C :
y(t) = e^-t (t + 5)
Então, a solução particular é:

Resposta

A resposta correta é:
b)

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