Para um sistema massa-mola sem atrito para o qual é aplicável a Lei de Hooke, faça: Represente um eixo de coordenadas com a origem na posição de mola relaxada (ou seja, não deformada).
Represente a massa em uma posição de mola esticada, com deslocamento da massa (ou seja, alongamento da mola) igual a x .
Represente também a massa em uma posição de mola comprimida, com deslocamento da massa (ou seja, alongamento da mola) igual a x.
Nos 2 casos anteriores represente a força aplicada sobe a massa, pela mola, através de vetores.
Escreva uma equação para a intensidade da força elástica sobre a mola e para a intensidade da força resultante sobre o corpo, com justificativa para o sinal algébrico.
Escreva a equação do movimento para a massa e faça rearranjos algébricos que forneçam uma equação na qual o coeficiente da derivada de maior ordem é igual a um.
Escreva os 2 tipos de funções harmônicas que são soluções da equação do movimento deste oscilador.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente cada item que precisamos fornecer e as informações dadas (tudo que vamos usar).
- Representar um eixo de coordenadas com a origem na posição de mola relaxada (posição de equilíbrio não deformada).
- Representar a massa quando a mola está esticada por um deslocamento
. - Representar a massa quando a mola está comprimida por um deslocamento
. - Nos dois casos (esticada e comprimida) representar a força exercida pela mola sobre a massa por vetores e indicar a direção.
- Escrever a equação para a intensidade da força elástica sobre a mola e para a intensidade da força resultante sobre o corpo, com justificativa do sinal algébrico.
- Escrever a equação do movimento para a massa e fazer os rearranjos algébricos necessários para que o coeficiente da derivada de maior ordem seja igual a
. - Escrever os dois tipos de funções harmônicas que são soluções da equação do movimento desse oscilador (ou seja, as formas básicas das soluções harmônicas).
Informações físicas dadas/assumidas (padrão para um sistema massa-mola sem atrito):
- A mola obedece à Lei de Hooke (força elástica proporcional ao deslocamento).
- Não há atrito nem forças dissipativas.
- A massa do corpo é
(em kg, por exemplo). - A constante elástica da mola é
(em N/m). - A variável de interesse é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, que chamamos de
.
Passo 2
Desenho mental e convenção de sinais (muito importante para o sinal algébrico correto).
- Coloque a origem do eixo horizontal
na posição da mola relaxada (posição de equilíbrio). Ou seja, quando a mola não está esticada nem comprimida, . - Defina a direção positiva: escolha, por exemplo, para a direita como direção positiva. Essa escolha é arbitrária, mas deve ser mantida consistente.
- Quando a massa está deslocada para a direita em relação à origem, escrevemos
(isso corresponde a mola esticada). - Quando a massa está deslocada para a esquerda, escrevemos
(isso corresponde a mola comprimida). - Observação: a variável
é função do tempo, , mas ao analisar forças em um instante podemos tratá-la como .
Passo 3
Representação das posições (descrevendo o desenho pedido).
- Eixo: desenhar o eixo horizontal com marcação
na origem (mola relaxada) e seta indicando o sentido positivo para a direita. - Massa na posição esticada: coloque a massa à direita da origem, em
(ou seja, na coordenada ). Escreva perto da massa: posição . - Massa na posição comprimida: coloque a massa à esquerda da origem, em
(ou seja, na coordenada ; o deslocamento em módulo é , mas a coordenada é ).
Observação prática para a prova: se pedirem o desenho, faça um eixo horizontal, marque, desenhe a mola presa em e a massa à direita para esticado e à esquerda para comprimido, rotulando as coordenadas.
Passo 4
Representação vetorial das forças nos dois casos (direção e sentido).
- Caso mola esticada (
, massa à direita): - A mola puxa a massa em direção ao ponto de equilíbrio (origem), ou seja, para a esquerda. Então o vetor força elástica sobre a massa aponta para a esquerda (sentido negativo do eixo).
- Caso mola comprimida (
, massa à esquerda): - A mola empurra (ou melhor, exerce uma força no sentido que tende a devolver a massa ao equilíbrio), portanto a força sobre a massa aponta para a direita (sentido positivo do eixo).
- Conclusão compacta: a força elástica sempre aponta no sentido que tende a reduzir o deslocamento, isto é, é uma força restauradora apontando em direção ao
.
Passo 5
Escrever a Lei de Hooke e explicar cada símbolo (a “aula” sobre a fórmula).
- A Lei de Hooke, na forma escalar unidimensional que usamos aqui, diz:
- O que cada símbolo significa:
-
é a força que a mola exerce sobre a massa (em newtons, N). É positiva se apontar para a direita e negativa se apontar para a esquerda, segundo a nossa convenção de eixo. -
é a constante elástica da mola (em N/m). É uma medida de “rigidez”: quanto maior , maior a força para um mesmo deslocamento. -
é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio (em metros, m). Pode ser função do tempo . - O sinal negativo indica que a força tem sentido oposto ao deslocamento: se
, então (força para a esquerda); se , então (força para a direita).
-
- Justificativa do sinal algébrico: pela definição de deslocamento e pela observação vetorial feita no Passo 4 — a mola sempre puxa em sentido contrário ao deslocamento. Matemática simples: queremos uma expressão proporcional a
mas com sentido oposto, daí o fator .
Passo 6
Força resultante sobre o corpo (sem atrito) e justificativa.
- Como não há atrito nem outras forças horizontais, a única força horizontal que atua sobre a massa é a força elástica da mola. Logo a força resultante
é igual a . Portanto:
- Interpretação física: essa é a força líquida que acelera a massa, e tem sempre sinal oposto ao deslocamento.
Passo 7
Escrever a equação do movimento usando a Segunda Lei de Newton e explicar cada passo.
- A Segunda Lei de Newton (forma escalar unidimensional) é:
onde
é a força resultante,
é a massa e
é a aceleração.
- Substituindo a força resultante que encontramos:
- Como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo,
. Então:
- Aqui explico cada variável novamente:
-
é a massa (kg). -
é a aceleração (m/s^2), a segunda derivada temporal de . -
e já foram definidos.
-
- Observação: esta é a equação diferencial ordinária que descreve o movimento do oscilador massa-mola sem atrito.
Passo 8
Rearranjo algébrico para que o coeficiente da derivada de maior ordem seja igual a
.
- Partimos de:
- Dividindo ambos os lados por
(assumindo ), obtemos:
- Por conveniência padrão (e para reconhecer a forma de um oscilador harmônico), escrevemos na forma:
- Agora o coeficiente da derivada de maior ordem
é , como solicitado. - É comum definir a frequência angular natural:
Com isso, a equação fica ainda mais simples:
Passo 9
Resolver a equação diferencial e apresentar as soluções harmônicas (a “aula” sobre soluções).
- Método rápido (assumindo soluções exponenciais): procuro soluções da forma
. Substituindo em dá o polinômio característico
As raízes são
. Isso indica soluções oscilatórias.
- Das raízes complexas, a solução geral real é combinação linear de senos e cossenos:
onde
e
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais
e
.
- Outra forma equivalente (muito usada) é a forma amplitude-fase:
onde
(amplitude) e
(fase inicial) relacionam-se com
e
por
- Observações práticas para prova:
- As duas “tipos” de funções harmônicas que o enunciado pede podem ser entendidas como (i) funções cosseno e seno combinadas
e (ii) a forma amplitude-fase . Ambas são soluções equivalentes. - A frequência angular natural é
. O período do movimento é e a frequência (ciclos por segundo) é . - Dois exemplos simples de soluções particulares (usadas às vezes em questões rápidas de prova) são
e — cada uma, isoladamente, satisfaz a equação .
- As duas “tipos” de funções harmônicas que o enunciado pede podem ser entendidas como (i) funções cosseno e seno combinadas
Passo 10
Resumo final rápido (para checar na prova) — o que apresentar se pedirem “escreva a equação” e “escreva as soluções”.
- Força elástica:
. - Força resultante sobre a massa (sem atrito):
. - Equação do movimento (com coeficiente principal igual a 1):
- Soluções harmônicas (duas formas):
e