Para um sistema massa-mola sem atrito para o qual é aplicável a Lei de Hooke, faça: Represente um eixo de coordenadas com a origem na posição de mola relaxada (ou seja, não deformada).
Represente a massa em uma posição de mola esticada, com deslocamento da massa (ou seja, alongamento da mola) igual a x .
Represente também a massa em uma posição de mola comprimida, com deslocamento da massa (ou seja, alongamento da mola) igual a x.
Nos 2 casos anteriores represente a força aplicada sobe a massa, pela mola, através de vetores.
Escreva uma equação para a intensidade da força elástica sobre a mola e para a intensidade da força resultante sobre o corpo, com justificativa para o sinal algébrico.
Escreva a equação do movimento para a massa e faça rearranjos algébricos que forneçam uma equação na qual o coeficiente da derivada de maior ordem é igual a um.
Escreva os 2 tipos de funções harmônicas que são soluções da equação do movimento deste oscilador.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente cada item que precisamos fornecer e as informações dadas (tudo que vamos usar).
  • Representar um eixo de coordenadas com a origem na posição de mola relaxada (posição de equilíbrio não deformada).
  • Representar a massa quando a mola está esticada por um deslocamento \,x.
  • Representar a massa quando a mola está comprimida por um deslocamento \,x.
  • Nos dois casos (esticada e comprimida) representar a força exercida pela mola sobre a massa por vetores e indicar a direção.
  • Escrever a equação para a intensidade da força elástica sobre a mola e para a intensidade da força resultante sobre o corpo, com justificativa do sinal algébrico.
  • Escrever a equação do movimento para a massa e fazer os rearranjos algébricos necessários para que o coeficiente da derivada de maior ordem seja igual a 1.
  • Escrever os dois tipos de funções harmônicas que são soluções da equação do movimento desse oscilador (ou seja, as formas básicas das soluções harmônicas).
Informações físicas dadas/assumidas (padrão para um sistema massa-mola sem atrito):
  • A mola obedece à Lei de Hooke (força elástica proporcional ao deslocamento).
  • Não há atrito nem forças dissipativas.
  • A massa do corpo é m (em kg, por exemplo).
  • A constante elástica da mola é k (em N/m).
  • A variável de interesse é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, que chamamos de x(t).

Passo 2

Desenho mental e convenção de sinais (muito importante para o sinal algébrico correto).
  • Coloque a origem do eixo horizontal x na posição da mola relaxada (posição de equilíbrio). Ou seja, quando a mola não está esticada nem comprimida, x=0.
  • Defina a direção positiva: escolha, por exemplo, para a direita como direção positiva. Essa escolha é arbitrária, mas deve ser mantida consistente.
  • Quando a massa está deslocada para a direita em relação à origem, escrevemos x>0 (isso corresponde a mola esticada).
  • Quando a massa está deslocada para a esquerda, escrevemos x<0 (isso corresponde a mola comprimida).
  • Observação: a variável x é função do tempo, x(t), mas ao analisar forças em um instante podemos tratá-la como x.

Passo 3

Representação das posições (descrevendo o desenho pedido).
  • Eixo: desenhar o eixo horizontal com marcação 0 na origem (mola relaxada) e seta indicando o sentido positivo para a direita.
  • Massa na posição esticada: coloque a massa à direita da origem, em x (ou seja, na coordenada x>0). Escreva perto da massa: posição x.
  • Massa na posição comprimida: coloque a massa à esquerda da origem, em -x (ou seja, na coordenada x<0; o deslocamento em módulo é x, mas a coordenada é -x).
    Observação prática para a prova: se pedirem o desenho, faça um eixo horizontal, marque 0, desenhe a mola presa em 0 e a massa à direita para esticado e à esquerda para comprimido, rotulando as coordenadas.

Passo 4

Representação vetorial das forças nos dois casos (direção e sentido).
  • Caso mola esticada ( x>0, massa à direita):
    • A mola puxa a massa em direção ao ponto de equilíbrio (origem), ou seja, para a esquerda. Então o vetor força elástica sobre a massa aponta para a esquerda (sentido negativo do eixo).
  • Caso mola comprimida ( x<0, massa à esquerda):
    • A mola empurra (ou melhor, exerce uma força no sentido que tende a devolver a massa ao equilíbrio), portanto a força sobre a massa aponta para a direita (sentido positivo do eixo).
  • Conclusão compacta: a força elástica sempre aponta no sentido que tende a reduzir o deslocamento, isto é, é uma força restauradora apontando em direção ao x=0.

Passo 5

Escrever a Lei de Hooke e explicar cada símbolo (a “aula” sobre a fórmula).
  • A Lei de Hooke, na forma escalar unidimensional que usamos aqui, diz:
F_{\text{el}} = -k x.
  • O que cada símbolo significa:
    • \,F_{\text{el}} é a força que a mola exerce sobre a massa (em newtons, N). É positiva se apontar para a direita e negativa se apontar para a esquerda, segundo a nossa convenção de eixo.
    • \,k é a constante elástica da mola (em N/m). É uma medida de “rigidez”: quanto maior k, maior a força para um mesmo deslocamento.
    • \,x é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio (em metros, m). Pode ser função do tempo x(t).
    • O sinal negativo indica que a força tem sentido oposto ao deslocamento: se x>0, então F_{\text{el}}<0 (força para a esquerda); se x<0, então F_{\text{el}}>0 (força para a direita).
  • Justificativa do sinal algébrico: pela definição de deslocamento e pela observação vetorial feita no Passo 4 — a mola sempre puxa em sentido contrário ao deslocamento. Matemática simples: queremos uma expressão proporcional a x mas com sentido oposto, daí o fator -1.

Passo 6

Força resultante sobre o corpo (sem atrito) e justificativa.
  • Como não há atrito nem outras forças horizontais, a única força horizontal que atua sobre a massa é a força elástica da mola. Logo a força resultante \,F_{\text{res}} é igual a \,F_{\text{el}}. Portanto:
F_{\text{res}} = -k x.
  • Interpretação física: essa é a força líquida que acelera a massa, e tem sempre sinal oposto ao deslocamento.

Passo 7

Escrever a equação do movimento usando a Segunda Lei de Newton e explicar cada passo.
  • A Segunda Lei de Newton (forma escalar unidimensional) é:
\sum F = m a,
onde \sum F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração.
  • Substituindo a força resultante que encontramos:
m a = -k x.
  • Como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo, a=\ddot x(t). Então:
m \ddot x(t) = -k x(t).
  • Aqui explico cada variável novamente:
    • \,m é a massa (kg).
    • \,\ddot x(t) é a aceleração (m/s^2), a segunda derivada temporal de x(t).
    • \,k e \,x(t) já foram definidos.
  • Observação: esta é a equação diferencial ordinária que descreve o movimento do oscilador massa-mola sem atrito.

Passo 8

Rearranjo algébrico para que o coeficiente da derivada de maior ordem seja igual a 1.
  • Partimos de:
m \ddot x(t) = -k x(t).
  • Dividindo ambos os lados por m (assumindo m\neq 0), obtemos:
\ddot x(t) = -\frac{k}{m} x(t).
  • Por conveniência padrão (e para reconhecer a forma de um oscilador harmônico), escrevemos na forma:
\ddot x(t) + \frac{k}{m}\, x(t) = 0.
  • Agora o coeficiente da derivada de maior ordem \ddot x é 1, como solicitado.
  • É comum definir a frequência angular natural:
\omega^2 \equiv \frac{k}{m}, \qquad \text{ou seja} \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Com isso, a equação fica ainda mais simples:
\ddot x(t) + \omega^2 x(t) = 0.

Passo 9

Resolver a equação diferencial e apresentar as soluções harmônicas (a “aula” sobre soluções).
  • Método rápido (assumindo soluções exponenciais): procuro soluções da forma x(t)=e^{rt}. Substituindo em \ddot x + \omega^2 x = 0 dá o polinômio característico
r^2 + \omega^2 = 0.
As raízes são r = \pm i\omega. Isso indica soluções oscilatórias.
  • Das raízes complexas, a solução geral real é combinação linear de senos e cossenos:
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes reais determinadas pelas condições iniciais x(0) e \dot x(0).
  • Outra forma equivalente (muito usada) é a forma amplitude-fase:
x(t) = C \cos(\omega t - \varphi),
onde C\ge 0 (amplitude) e \varphi (fase inicial) relacionam-se com A e B por
C = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{B}{A}.
  • Observações práticas para prova:
    • As duas “tipos” de funções harmônicas que o enunciado pede podem ser entendidas como (i) funções cosseno e seno combinadas A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) e (ii) a forma amplitude-fase C\cos(\omega t-\varphi). Ambas são soluções equivalentes.
    • A frequência angular natural é \omega=\sqrt{k/m}. O período do movimento é T=2\pi/\omega e a frequência (ciclos por segundo) é f=\omega/(2\pi).
    • Dois exemplos simples de soluções particulares (usadas às vezes em questões rápidas de prova) são x(t)=\cos(\omega t) e x(t)=\sin(\omega t) — cada uma, isoladamente, satisfaz a equação \ddot x + \omega^2 x=0.

Passo 10

Resumo final rápido (para checar na prova) — o que apresentar se pedirem “escreva a equação” e “escreva as soluções”.
  • Força elástica: \,F_{\text{el}} = -k x.
  • Força resultante sobre a massa (sem atrito): \,F_{\text{res}} = -k x.
  • Equação do movimento (com coeficiente principal igual a 1):
\ddot x + \frac{k}{m} x = 0 \quad\text{ou}\quad \ddot x + \omega^2 x = 0,\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Soluções harmônicas (duas formas):
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)
e
x(t) = C\cos(\omega t - \varphi).

Resposta

F_{\text{el}} = -k x
F_{\text{res}} = -k x
m\ddot x = -k x
\ddot x + \dfrac{k}{m}\,x = 0
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)
x(t) = C\cos(\omega t - \varphi), \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

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