Um sistema massa mola descrito por uma função cosseno tem as seguintes condições iniciais
e a
. Determine o valor da frequência angular.
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá as condições iniciais e pede a frequência angular:
-
. -
. -
. - A posição é descrita por uma função cosseno (ou seja, do tipo
).
O objetivo é determinar o valor de
(frequência angular).
Passo 2
Escrevo a forma geral e as derivadas (aqui explico cada símbolo):
-
, onde: -
é a amplitude (valor máximo absoluto do deslocamento), -
é a frequência angular que queremos encontrar (em ), -
é a fase inicial (ângulo de deslocamento no tempo ).
-
- Velocidade é a derivada de
em relação a . Derivando: (Regra: derivada de é vezes , aqui e .) - Aceleração é a derivada de
: (Derivada de é .)
Passo 3
Aplico as condições iniciais em
. Substituindo
nas expressões:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Isso nos dá o sistema de equações
Passo 4
Analiso a equação da velocidade. Como
não é zero (pois
implica deslocamento não nulo) e
não é zero para um movimento oscilatório, resta:
Então
é um múltiplo de
. As possibilidades mais simples são
ou
. Vou analisar cada caso.
Passo 5
Caso
:
-
. Da primeira equação segue . - Substituo na equação da aceleração:
Logo Portanto (escolhemos a raiz positiva, pois é não negativa por definição).
Passo 6
Caso
:
-
. Da primeira equação segue . (Isto corresponde a escolher amplitude positiva com fase diferente; não há contradição física.) - Substituo na equação da aceleração:
que novamente dá
Ou seja, ambos os possíveis
levam ao mesmo
.
Passo 7
Conclusão: a frequência angular determinada a partir das condições iniciais é
. Essa opção corresponde à alternativa indicada com
.