Um sistema massa mola descrito por uma função cosseno tem as seguintes condições iniciais x(0)=2 \mathrm{~m}, \mathrm{v}(0)=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a (0)=-50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine o valor da frequência angular.
2,5 \mathrm{rads} / \mathrm{s}
3,0 \mathrm{rads} / \mathrm{s}
5,0 \mathrm{rads} / \mathrm{s}
7,5 \mathrm{rads} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as condições iniciais e pede a frequência angular:
  • x(0)=2\\ \mathrm{m}.
  • v(0)=0\\ \mathrm{m/s}.
  • a(0)=-50\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A posição é descrita por uma função cosseno (ou seja, do tipo x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)).
O objetivo é determinar o valor de \omega (frequência angular).

Passo 2

Escrevo a forma geral e as derivadas (aqui explico cada símbolo):
  • x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (valor máximo absoluto do deslocamento),
    • \omega é a frequência angular que queremos encontrar (em \mathrm{rad/s}),
    • \varphi é a fase inicial (ângulo de deslocamento no tempo t=0).
  • Velocidade é a derivada de x(t) em relação a t. Derivando: v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).(Regra: derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u', aqui u=\omega t+\varphi e u'=\omega.)
  • Aceleração é a derivada de v(t): a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).(Derivada de -A\omega\sin(u) é -A\omega\cdot\omega\cos(u)=-A\omega^{2}\cos(u).)

Passo 3

Aplico as condições iniciais em t=0. Substituindo t=0 nas expressões:
  • Posição: x(0)=A\cos\varphi=2.
  • Velocidade: v(0)=-A\omega\sin\varphi=0.
  • Aceleração: a(0)=-A\omega^{2}\cos\varphi=-50.
Isso nos dá o sistema de equações
A\cos\varphi=2, \qquad -A\omega\sin\varphi=0, \qquad -A\omega^{2}\cos\varphi=-50.

Passo 4

Analiso a equação da velocidade. Como A não é zero (pois A\cos\varphi=2 implica deslocamento não nulo) e \omega não é zero para um movimento oscilatório, resta:
\sin\varphi=0.
Então \varphi é um múltiplo de \pi. As possibilidades mais simples são \varphi=0 ou \varphi=\pi. Vou analisar cada caso.

Passo 5

Caso \varphi=0:
  • \cos\varphi=\cos 0=1. Da primeira equação A\cdot1=2 segue A=2.
  • Substituo na equação da aceleração: -A\omega^{2}\cos\varphi = -2\omega^{2}\cdot1 = -50.Logo -2\omega^{2}=-50 \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=25.Portanto \omega=5\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} (escolhemos a raiz positiva, pois \omega é não negativa por definição).

Passo 6

Caso \varphi=\pi:
  • \cos\varphi=\cos\pi=-1. Da primeira equação A\cdot(-1)=2 segue A=-2. (Isto corresponde a escolher amplitude positiva |A|=2 com fase diferente; não há contradição física.)
  • Substituo na equação da aceleração: -A\omega^{2}\cos\varphi = -(-2)\omega^{2}\cdot(-1) = -2\omega^{2} = -50,que novamente dá \omega^{2}=25\quad\Rightarrow\quad \omega=5\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Ou seja, ambos os possíveis \varphi levam ao mesmo \omega.

Passo 7

Conclusão: a frequência angular determinada a partir das condições iniciais é \omega=5\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}. Essa opção corresponde à alternativa indicada com 5,0\\ \mathrm{rads}/\mathrm{s}.

Resposta

\,5{,}0\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}

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