Um sistema massa mola descrito por uma função cosseno tem as seguintes condições iniciais x(0)=-3 \mathrm{~m}, v(0)=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a (0)=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Sabendo que a massa é de 1 Kg , determine o valor da energia mecânica deste sistema.
0,5 \mathrm{~J}
1,0 \mathrm{~J}
1,5 \mathrm{~J}
4,5 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado fornece as condições iniciais e pede a energia mecânica total do sistema. Dados fornecidos:
  • x(0) = -3\\ \mathrm{m}
  • v(0) = 0\\ \mathrm{m/s}
  • a(0) = 3\\ \mathrm{m/s^{2}}
  • massa m = 1\\ \mathrm{kg}
O que se pede:
  • Determinar a energia mecânica total do sistema massa-mola (valor numérico em joules).

Passo 2

Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A equação do movimento para uma massa ligada a uma mola ideal é
m\,\ddot{x} + k\,x = 0,
onde m é a massa, k é a constante elástica da mola, x(t) é o deslocamento e \ddot{x}(t) é a aceleração.
  • A aceleração relaciona-se com a posição por
\ddot{x}(t) = -\frac{k}{m}\,x(t).
  • A energia mecânica total (constante no movimento harmônico sem atrito) é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica:
E = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}k x^2,
onde v=\dot{x} é a velocidade. Alternativamente, usando a amplitude A do movimento:
E = \frac{1}{2}k A^2.
Aqui E é constante ao longo do tempo.

Passo 3

Usar a relação entre aceleração e posição no instante t=0 para encontrar k. Substituindo t=0 em \ddot{x}(0) = -\dfrac{k}{m}x(0) temos:
a(0) = -\frac{k}{m}\,x(0).
Substituindo os valores conhecidos ( a(0)=3, x(0)=-3, m=1):
3 = -\frac{k}{1}\cdot(-3) = 3k.
Logo,
k = 1\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Com k e m conhecidos, a frequência angular \omega vale
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo k=1 e m=1,
\omega = \sqrt{1} = 1\\ \mathrm{rad/s}.
(Neste ponto \omega é só para referência; não é estritamente necessário para achar a energia, mas ajuda a entender a forma do movimento.)

Passo 5

Determinar a amplitude A. A solução geral do movimento é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) onde A>0 é a amplitude e \varphi é a fase inicial. Usando t=0:
x(0)=A\cos\varphi = -3,
e a velocidade é \dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi), então em t=0:
v(0) = -A\omega\sin\varphi = 0.
Como \omega=1 e v(0)=0, temos \sin\varphi = 0. As soluções para \sin\varphi=0 são \varphi = 0 ou \varphi = \pi (entre outras, mas basta uma dessas para o instante inicial). Testando cada uma:
  • Se \varphi=0, então \cos\varphi=1 e A= -3, o que dá amplitude negativa (não faz sentido físico para A, que é positivo).
  • Se \varphi=\pi, então \cos\varphi=-1 e A = 3.
Portanto a amplitude é
A = 3\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a energia mecânica usando E=\dfrac{1}{2}kA^2. Substituindo k=1 e A=3:
E = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 3^2 = \frac{1}{2}\cdot 9 = 4{,}5\\ \mathrm{J}.
Como verificação rápida, podemos também usar E=\dfrac{1}{2}m v(0)^2 + \dfrac{1}{2}k x(0)^2:
E = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 0^2 + \frac{1}{2}\cdot 1\cdot (-3)^2 = 0 + \frac{9}{2} = 4{,}5\\ \mathrm{J},
mesma resposta.

Resposta

4{,}5\\ \mathrm{J}

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