Um sistema massa mola descrito por uma função cosseno tem as seguintes condições iniciais
e a
. Sabendo que a massa é de 1 Kg , determine o valor da energia mecânica deste sistema.
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado fornece as condições iniciais e pede a energia mecânica total do sistema. Dados fornecidos:
-
-
-
- massa
O que se pede:
- Determinar a energia mecânica total do sistema massa-mola (valor numérico em joules).
Passo 2
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A equação do movimento para uma massa ligada a uma mola ideal é
onde
é a massa,
é a constante elástica da mola,
é o deslocamento e
é a aceleração.
- A aceleração relaciona-se com a posição por
- A energia mecânica total (constante no movimento harmônico sem atrito) é a soma da energia cinética e da energia potencial elástica:
onde
é a velocidade. Alternativamente, usando a amplitude
do movimento:
Aqui
é constante ao longo do tempo.
Passo 3
Usar a relação entre aceleração e posição no instante
para encontrar
. Substituindo
em
temos:
Substituindo os valores conhecidos (
,
,
):
Logo,
Passo 4
Com
e
conhecidos, a frequência angular
vale
Substituindo
e
,
(Neste ponto
é só para referência; não é estritamente necessário para achar a energia, mas ajuda a entender a forma do movimento.)
Passo 5
Determinar a amplitude
. A solução geral do movimento é
onde
é a amplitude e
é a fase inicial. Usando
:
e a velocidade é
, então em
:
Como
e
, temos
. As soluções para
são
ou
(entre outras, mas basta uma dessas para o instante inicial). Testando cada uma:
- Se
, então e , o que dá amplitude negativa (não faz sentido físico para , que é positivo). - Se
, então e .
Portanto a amplitude é
Passo 6
Calcular a energia mecânica usando
. Substituindo
e
:
Como verificação rápida, podemos também usar
:
mesma resposta.