Sobre duas ondas idênticas se propagando com mesma velocidade, mas em sentidos oposto, ocorre interferência Destrutiva na onda estacionária quando kx for igual a?
2,0 \pi
5,25 \pi
6,5 \pi
8,0 \pi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar para qual valor de kx ocorre interferência destrutiva numa onda estacionária formada por duas ondas idênticas que se propagam com a mesma velocidade, mas em sentidos opostos.
  • Dados relevantes (retirados do enunciado): duas ondas idênticas, sentidos opostos, mesmas velocidade.
  • Opções fornecidas:
    • 2,0\pi
    • 5,25\pi
    • 6,5\pi
    • 8,0\pi

Passo 2

Escrever as duas ondas e somá‑las (aí vem a ideia central).
  • Escolhemos formas de seno/cosseno usuais para ondas progressivas: uma onda indo para a direita e outra para a esquerda podem ser representadas por
y_1(x,t)=A\cos(kx-\omega t),\qquad y_2(x,t)=A\cos(kx+\omega t),
onde:
  • A é a amplitude de cada onda (mesma para as duas),
  • k é o número de onda,
  • \omega é a frequência angular,
  • x é a posição,
  • t é o tempo.
  • Somando as duas ondas (princípio da superposição) e usando a identidade trigonométrica
\cos a + \cos b = 2\cos\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right),
obtemos a onda resultante (onda estacionária):
y(x,t)=y_1+y_2=2A\cos(kx)\cos(\omega t).

Passo 3

Entender onde há interferência destrutiva (nós) na onda estacionária.
  • A expressão acima mostra que a amplitude máxima local (envelope espacial) é 2A\cos(kx).
  • Interferência destrutiva (nó), isto é, pontos onde a amplitude total é sempre zero para todo t, ocorre quando essa amplitude espacial é zero:
\cos(kx)=0.
  • Solução geral da equação \cos(kx)=0:
kx=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Isto significa que kx deve ser qualquer múltiplo ímpar de \pi/2: \pi/2,\;3\pi/2,\;5\pi/2,\;\dots

Passo 4

Verificar as opções dadas e escolher a que satisfaz kx=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}.
  • Expressar cada opção em fração de \pi:
    • 2{,}0\pi = 2\pi = \dfrac{4\pi}{2} → múltiplo par de \dfrac{\pi}{2} (não é ímpar), logo \cos(2\pi)\neq0.
    • 5{,}25\pi = \dfrac{21\pi}{4} = \dfrac{10{,}5\pi}{2} → denominação \dfrac{10{,}5}{1} não é da forma (2n+1)/2 com 2n+1 inteiro ímpar; portanto não.
    • 6{,}5\pi = \dfrac{13\pi}{2} → aqui \dfrac{13\pi}{2} é da forma \dfrac{(2n+1)\pi}{2} com 2n+1=13 (ou seja n=6). Logo \cos\!\left(\dfrac{13\pi}{2}\right)=0.
    • 8{,}0\pi = 8\pi = \dfrac{16\pi}{2} → múltiplo par de \dfrac{\pi}{2}, logo \cos(8\pi)\neq0.
  • Conclusão: a única opção que corresponde a um nó (interferência destrutiva) é 6{,}5\pi.

Resposta

6{,}5\pi

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