1. Um sistema massa-mola horizontal tem uma massa de 1,0 \mathrm{~kg} e constante de mola igual a 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando passa pela coordenada x=0,3 \mathrm{~m} de sua posição de equilíbrio, a velocidade da massa é de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a frequência angular das oscilações e a velocidade máxima da massa durante uma oscilação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
m=1,0\\ \mathrm{kg} (massa)
k=100\\ \mathrm{N/m} (constante da mola)
quando a massa está em x=0,3\\ \mathrm{m} (distância da posição de equilíbrio) sua velocidade é v=4,0\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
  1. Determinar a frequência angular das oscilações \omega.
  2. Determinar a velocidade máxima da massa durante uma oscilação v_{\max}.

Passo 2

Qual fórmula usamos para achar \omega? Para um sistema massa-mola sem atrito em movimento harmónico simples a equação do movimento é
m\ddot{x}+kx=0.
Dessa equação surge a relação
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando com calma: \omega é a frequência angular (medida em rad/s), k é a constante elástica da mola (N/m) e m a massa (kg). Essa fórmula vem do fato de que a forma padrão da equação é \ddot{x}+\omega^2 x=0, logo \omega^2=k/m.

Passo 3

Agora aplico os números na fórmula de \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{1,0}}=\sqrt{100}=10.
Portanto \omega=10\\ \mathrm{rad/s}. (Unidade: radianos por segundo.)

Passo 4

Para achar v_{\max} preciso relacionar velocidade, posição e amplitude. Em movimento harmônico simples a energia mecânica se conserva e vale:
E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2},
onde A é a amplitude máxima (deslocamento máximo a partir do equilíbrio), x é a posição instantânea e v a velocidade nessa posição. Outra relação equivalente, obtida usando \omega^{2}=k/m, é
v^{2}=\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Explicando: quando x=0 (passa pelo equilíbrio) toda a energia é cinética e a velocidade é máxima v_{\max}=\omega A; quando x=\pm A a velocidade é zero e a energia é toda potencial elástica.

Passo 5

Usando a relação v^{2}=\omega^{2}(A^{2}-x^{2}) para achar A, isolamos A^{2}:
A^{2}=\frac{v^{2}}{\omega^{2}}+x^{2}.
Substituo os valores (já calculamos \omega=10\\ \mathrm{rad/s}, v=4,0\\ \mathrm{m/s}, x=0,3\\ \mathrm{m}):
\frac{v^{2}}{\omega^{2}}=\frac{(4,0)^{2}}{10^{2}}=\frac{16}{100}=0,16,
x^{2}=(0,3)^{2}=0,09,
A^{2}=0,16+0,09=0,25.
Logo
A=\sqrt{0,25}=0,5\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: a amplitude é 0,5\\ \mathrm{m}, maior que a posição dada 0,3\\ \mathrm{m}, o que faz sentido.

Passo 6

A velocidade máxima ocorre em x=0 e é dada por
v_{\max}=\omega A.
Substituindo \omega=10\\ \mathrm{rad/s} e A=0,5\\ \mathrm{m}:
v_{\max}=10\cdot 0,5=5,0\\ \mathrm{m/s}.
Checagem rápida: a velocidade no ponto x=0,3\\ \mathrm{m} era 4,0\\ \mathrm{m/s}, menor que v_{\max}=5,0\\ \mathrm{m/s}, portanto coerente.

Resposta

\omega=10\\ \mathrm{rad/s}
v_{\max}=5,0\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados