- Um sistema massa-mola horizontal tem uma massa de
e constante de mola igual a
. Quando passa pela coordenada
de sua posição de equilíbrio, a velocidade da massa é de
. Determine a frequência angular das oscilações e a velocidade máxima da massa durante uma oscilação.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
(massa)
(constante da mola)
quando a massa está em (distância da posição de equilíbrio) sua velocidade é
.
quando a massa está em
Perguntas:
- Determinar a frequência angular das oscilações
. - Determinar a velocidade máxima da massa durante uma oscilação
.
Passo 2
Qual fórmula usamos para achar
? Para um sistema massa-mola sem atrito em movimento harmónico simples a equação do movimento é
Dessa equação surge a relação
Explicando com calma:
é a frequência angular (medida em rad/s),
é a constante elástica da mola (N/m) e
a massa (kg). Essa fórmula vem do fato de que a forma padrão da equação é
, logo
.
Passo 3
Agora aplico os números na fórmula de
:
Portanto
. (Unidade: radianos por segundo.)
Passo 4
Para achar
preciso relacionar velocidade, posição e amplitude. Em movimento harmônico simples a energia mecânica se conserva e vale:
onde
é a amplitude máxima (deslocamento máximo a partir do equilíbrio),
é a posição instantânea e
a velocidade nessa posição. Outra relação equivalente, obtida usando
, é
Explicando: quando
(passa pelo equilíbrio) toda a energia é cinética e a velocidade é máxima
; quando
a velocidade é zero e a energia é toda potencial elástica.
Passo 5
Usando a relação
para achar
, isolamos
:
Substituo os valores (já calculamos
,
,
):
Logo
Interpretação rápida: a amplitude é
, maior que a posição dada
, o que faz sentido.
Passo 6
A velocidade máxima ocorre em
e é dada por
Substituindo
e
:
Checagem rápida: a velocidade no ponto
era
, menor que
, portanto coerente.