1. Um cometa, em órbita elíptica em torno da estrela X, possui velocidade de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{s} quando se encontra a 0,5 \times 10^{8} \mathrm{~km} do centro da estrela X. Para que distância até a estrela X, a sua velocidade será de 20 \mathrm{~km} / \mathrm{s} ?
    Considere o produto \mathrm{G} \bullet \mathrm{M}=4,0 \times 10^{10} \mathrm{~km}^{3} / \mathrm{s}^{2}, sendo M a massa da estrela X .

Passo 1

O enunciado pede: “Para que distância até a estrela X a velocidade do cometa será de 20\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
v_1 = 40\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}
r_1 = 0,5\times10^{8}\\ \mathrm{km}
v_2 = 20\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}
GM = 4,0\times10^{10}\\ \mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2
Aqui v_1 e r_1 são velocidade e distância conhecidas em um ponto da órbita, v_2 é a velocidade desejada em outro ponto, e GM é o produto da constante gravitacional pela massa da estrela (valor dado).

Passo 2

Conservação da energia mecânica por unidade de massa (energia específica) para uma órbita sob gravidade diz que a quantidade
\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r}
é constante ao longo da órbita.
Explicando a fórmula com calma:
  • \frac{v^2}{2} é a energia cinética por unidade de massa (unidades: \mathrm{km}^2/\mathrm{s}^2).
  • -\frac{GM}{r} é a energia potencial gravitacional por unidade de massa (mesmas unidades).
    Como \varepsilon é constante, podemos igualar seu valor nos dois pontos conhecidos da órbita e usar isso para encontrar r_2.

Passo 3

Escrevendo a igualdade da energia específica nos dois pontos:
\frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{GM}{r_2}
Definindo cada termo: v_1 e r_1 são conhecidos; v_2 é conhecido; r_2 é a incógnita. Vamos isolar \dfrac{1}{r_2}. Subtraindo os termos e rearranjando:
\frac{v_1^2 - v_2^2}{2} = GM\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)
Logo
\frac{1}{r_2} = \frac{1}{r_1} - \frac{v_1^2 - v_2^2}{2\,GM}

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (tudo em \mathrm{km} e \mathrm{s}):
Primeiro calcule v_1^2 e v_2^2:
v_1^2 = 40^2 = 1600\quad\mathrm{(km^2/s^2)}
v_2^2 = 20^2 = 400\quad\mathrm{(km^2/s^2)}
v_1^2 - v_2^2 = 1600 - 400 = 1200
Metade disso:
\frac{v_1^2 - v_2^2}{2} = \frac{1200}{2} = 600\quad\mathrm{(km^2/s^2)}
Calcule o termo \dfrac{v_1^2 - v_2^2}{2GM}:
\frac{600}{GM} = \frac{600}{4,0\times10^{10}} = 1,5\times10^{-8}\\ \mathrm{km}^{-1}
(Cálculo mental: dividir por 4,0\times10^{10} é o mesmo que multiplicar por 0,25\times10^{-10}; 600\times0,25=150, então 150\times10^{-10}=1,5\times10^{-8}.)
Calcule \dfrac{1}{r_1}:
\frac{1}{r_1} = \frac{1}{0,5\times10^{8}} = 2,0\times10^{-8}\\ \mathrm{km}^{-1}
(Reason: dividir por 0{,}5 multiplica por 2.)
Agora aplique a fórmula para \dfrac{1}{r_2}:
\frac{1}{r_2} = 2,0\times10^{-8} - 1,5\times10^{-8} = 0,5\times10^{-8} = 5,0\times10^{-9}\\ \mathrm{km}^{-1}

Passo 5

Invertemos para obter r_2:
r_2 = \frac{1}{5,0\times10^{-9}} = 2,0\times10^{8}\\ \mathrm{km}
Explicando a inversão: \dfrac{1}{5{,}0\times10^{-9}} = \dfrac{1}{5}\times10^{9} = 0{,}2\times10^{9} = 2{,}0\times10^{8}.

Passo 6

Interpretação rápida: a velocidade diminuiu de 40\\ \mathrm{km}/\mathrm{s} para 20\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}, então o cometa foi para mais longe da estrela — aqui o cálculo mostra que a nova distância é quatro vezes a distância inicial ( 2{,}0\times10^{8} km é quatro vezes 0{,}5\times10^{8} km), o que faz sentido físico qualitativo.

Resposta

2,0\times10^{8}\\ \mathrm{km}

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