- Um cometa, em órbita elíptica em torno da estrela X, possui velocidade de
quando se encontra a
do centro da estrela X. Para que distância até a estrela X, a sua velocidade será de
?
Considere o produto
, sendo M a massa da estrela X .
Considere o produto
Passo 1
O enunciado pede: “Para que distância até a estrela X a velocidade do cometa será de
?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
Aqui
e
são velocidade e distância conhecidas em um ponto da órbita,
é a velocidade desejada em outro ponto, e
é o produto da constante gravitacional pela massa da estrela (valor dado).
Passo 2
Conservação da energia mecânica por unidade de massa (energia específica) para uma órbita sob gravidade diz que a quantidade
é constante ao longo da órbita.
Explicando a fórmula com calma:
Explicando a fórmula com calma:
-
é a energia cinética por unidade de massa (unidades: ). -
é a energia potencial gravitacional por unidade de massa (mesmas unidades).
Comoé constante, podemos igualar seu valor nos dois pontos conhecidos da órbita e usar isso para encontrar .
Passo 3
Escrevendo a igualdade da energia específica nos dois pontos:
Definindo cada termo:
e
são conhecidos;
é conhecido;
é a incógnita. Vamos isolar
. Subtraindo os termos e rearranjando:
Logo
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo (tudo em
e
):
Primeiro calcule e
:
Primeiro calcule
Metade disso:
Calcule o termo
:
(Cálculo mental: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
;
, então
.)
Calcule
:
(Reason: dividir por
multiplica por
.)
Agora aplique a fórmula para
:
Passo 5
Invertemos para obter
:
Explicando a inversão:
.
Passo 6
Interpretação rápida: a velocidade diminuiu de
para
, então o cometa foi para mais longe da estrela — aqui o cálculo mostra que a nova distância é quatro vezes a distância inicial (
km é quatro vezes
km), o que faz sentido físico qualitativo.