Considere um anel de raio facional Massa Miniformemente distribuída. Ao longo do seu eixo principal e em uma posição dista z do centro do anel, é colocada uma massa pontual m que pode mover-se livremente ao longo do eixo principal do anel.
(a) Encontre a energia potencial do sistema e seu gráfico como funçāo de z.
(b) Encontre a equaçāo de movimento de m. O sistema é M.H.S.? Explique.
(c) Caso z / a \approx 0, mostre que o sistema é um M.H.S.
(d) No caso do item anterior, encontre o período das oscilações.

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio \,a, e massa total \,M, uniformemente distribuída ao longo do anel. Uma massa pontual \,m, é colocada sobre o eixo do anel, a uma distância \,z, do centro, e pode mover-se livremente ao longo desse eixo.
As perguntas são:
(a) Encontrar a energia potencial do sistema como função de \,z, e descrever seu gráfico.
(b) Encontrar a equação de movimento de \,m, e dizer se o sistema é um M.H.S. (movimento harmônico simples), explicando.
(c) Mostrar que, no caso \,z/a\approx 0, (ou seja \,|z|\ll a,), o sistema se comporta como M.H.S.
(d) No caso do item (c), encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes e claras fornecidas pelo enunciado:
\text{Anel: raio } a,\\ \text{massa total } M,\\ \text{distribuição uniforme.}çã
\text{Massa pontual: } m \text{ colocada no eixo a uma distância } z \text{ do centro.}â
A interação é gravitacional (força de atração entre massas). A energia potencial gravitacional entre pedaços de massa seguidas pela integração dará a energia total U(z).

Passo 2

Cálculo da energia potencial U(z) por integração: teoria e passo a passo.
Primeiro, lembrando a fórmula da energia potencial entre duas massas pontuais:
\text{energia potencial entre } m_1 \text{ e } m_2: \quad U = -\frac{G m_1 m_2}{r},
onde \,G é a constante gravitacional e \,r é a distância entre elas. Aqui precisamos somar (integrar) a contribuição de cada pequeno elemento de massa do anel sobre a massa m.
Distribuição de massa no anel: a massa linear do anel é
\lambda = \frac{M}{\text{comprimento do anel}} = \frac{M}{2\pi a}.
Escolhemos um elemento do anel de ângulo \,d\theta. O comprimento desse elemento é \,a\,d\theta e sua massa vale
dm = \lambda \, a \, d\theta = \frac{M}{2\pi}\, d\theta.
A distância entre esse elemento dm e a massa m (no eixo a z do centro) é a mesma para todo ponto do anel, pela simetria:
r = \sqrt{a^2 + z^2}.
Portanto a contribuição de energia potencial desse elemento é
dU = -\frac{G\,m\,dm}{r} = -\frac{G\,m}{\sqrt{a^2+z^2}}\,dm.
Integramos dU ao longo de todo o anel ( \theta de 0 a 2\pi):
U(z) = \int dU = -\frac{G m}{\sqrt{a^2+z^2}}\int_{0}^{2\pi} dm.
Como \int_{0}^{2\pi} dm = M, obtemos a forma final:
\boxed{\,U(z) = -\dfrac{G M m}{\sqrt{a^2+z^2}}\,.}

Passo 3

Interpretação e gráfico qualitativo de U(z).
  • Note que \,U(z) é uma função par: U(-z)=U(z).
  • Para \,z=0 (sobre o centro do anel) o denominador é mínimo ( \sqrt{a^2+0}=a), então U(0) = -\dfrac{G M m}{a} é o valor mais negativo (mínimo) da energia potencial.
  • Quando |z|\to\infty, \sqrt{a^2+z^2}\approx |z| e U(z)\to 0^-.
    Gráfico qualitativo: uma curva simétrica em torno de z=0, com um mínimo em z=0 e tendendo a zero por baixo conforme |z| cresce. Ou seja, poço de potencial centralizado em z=0, raso quando |z| grande.

Passo 4

Encontrar a força e a equação de movimento: técnica usada e cálculo detalhado.
Força conservativa unidimensional ao longo do eixo z é dada por
F_z(z) = -\frac{dU}{dz}.
Derivamos U(z):
U(z) = -G M m (a^2+z^2)^{-1/2}.
Usamos a regra da cadeia: se f(z)=(a^2+z^2)^{-1/2}, então
\frac{df}{dz} = -\tfrac{1}{2}(a^2+z^2)^{-3/2}\cdot 2z = -\frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Logo
\frac{dU}{dz} = -G M m \left(-\frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\right) = \frac{G M m\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Portanto a força é
\boxed{\,F_z(z) = -\frac{G M m\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,.}
Observação física: para z>0 a força é negativa (puxa para o centro), para z<0 é positiva (puxa para o centro) — é uma força restauradora direcionada ao plano do anel.
A equação de movimento (segunda lei de Newton) para a coordenada z(t) é
m\ddot z = F_z(z) = -\frac{G M m\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Cancelando m dos dois lados:
\boxed{\,\ddot z + \frac{G M\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}} = 0\,.}

Passo 5

Resposta à pergunta “O sistema é M.H.S.?” e explicação didática.
M.H.S. (movimento harmônico simples) exige que a equação seja da forma \ddot z + \omega^2 z = 0 com \omega^2 constante (independente de z). Aqui o coeficiente multiplicando z é \dfrac{G M}{(a^2+z^2)^{3/2}}, que depende de z. Portanto, em geral, a equação é não linear e não é da forma de um oscilador harmônico simples com \omega constante. Conclusão:
\text{Em geral: NÃO é M.H.S., porque o termo restaurador não é linear em } z \text{ (depende de } z\text{).}Ãéãé

Passo 6

Mostrar que, para \,z/a\approx 0 ( |z|\ll a), o sistema se torna M.H.S.: desenvolvimento por série (aproximação de pequeno deslocamento).
Tomamos a expressão da força
F_z(z) = -\frac{G M m\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Queremos aproximar (a^2+z^2)^{-3/2} para |z|\ll a. Escrevemos
(a^2+z^2)^{-3/2} = a^{-3}\left(1+\frac{z^2}{a^2}\right)^{-3/2}.
Usamos a expansão binomial para (1+u)^{-3/2} com u=\dfrac{z^2}{a^2} pequeno:
(1+u)^{-3/2} \approx 1 - \frac{3}{2}u + \cdots.
Mantendo apenas o termo de ordem zero em u (termo dominante para pequeno u), obtemos
(a^2+z^2)^{-3/2} \approx a^{-3}.
Substituindo em F_z:
F_z \approx -\frac{G M m\, z}{a^{3}}.
Então a equação de movimento fica, para pequenas oscilações,
m\ddot z \approx -\frac{G M m}{a^{3}}\, z.
Cancelando m:
\boxed{\,\ddot z + \left(\frac{G M}{a^{3}}\right) z = 0\,.}
Isto é exatamente a equação do M.H.S. com constante angular \omega dada por
\omega^2 = \frac{G M}{a^{3}}.
Portanto, para |z|\ll a, o movimento é harmônico simples.

Passo 7

Explicação física do porquê da aproximação e conexão com o potencial:
Se preferir, a mesma conclusão pode ser obtida expandindo U(z) em série em torno de z=0. Usei antes:
\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}} = \frac{1}{a}\left(1+\frac{z^2}{a^2}\right)^{-1/2} \approx \frac{1}{a}\left(1 - \frac{1}{2}\frac{z^2}{a^2} + \cdots\right).
Logo
U(z)\approx -\frac{G M m}{a} + \frac{G M m}{2a^{3}}\, z^2 + \cdots.
A constante não afeta as equações de movimento; o termo quadrático em z corresponde a um potencial harmônico com constante efetiva
k_{\text{ef}} = \frac{d^2 U}{dz^2}\Big|_{z=0} = \frac{G M m}{a^{3}}.
Daí a força linearizada F\approx -k_{\text{ef}} z e a equação m\ddot z = -k_{\text{ef}} z, consistente com o resultado do passo anterior.

Passo 8

Período das pequenas oscilações (resultado final do item d).
Para um M.H.S. com \omega^2 = \dfrac{G M}{a^{3}}, o período é
\boxed{\,T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{G M}}\,.}

Resposta

(a) U(z) = -\dfrac{G M m}{\sqrt{a^2+z^2}}. Gráfico: função par com mínimo em z=0 valendo -\dfrac{G M m}{a}, tendendo a 0^{-} quando |z|\to\infty.
(b) Equação de movimento: \ddot z + \dfrac{G M\, z}{(a^2+z^2)^{3/2}} = 0. O sistema, em geral, não é M.H.S. (o termo restaurador depende não linearmente de z).
(c) Para z/a\approx 0 (pequenas oscilações) o sistema é M.H.S., com \omega^2 = \dfrac{G M}{a^{3}}.
(d) Período das pequenas oscilações: T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^{3}}{G M}}.

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