Um sistema massa-mola tem um corpo de massa m preso a uma mola de constante k e se move em uma superfície sem atrito.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um sistema massa-mola. Basicamente, é um corpo com massa m preso a uma mola que tem uma constante elástica k, e esse conjunto está se movendo sobre uma superfície sem atrito. A gente vai usar conceitos de física, mais especificamente de dinâmica e harmônicos simples, para analisar esse sistema. Vamos precisar entender como a força da mola funciona e como isso influencia o movimento da massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a mola se comporta. A força exercida por uma mola é dada pela Lei de Hooke, que diz que a força F é proporcional ao deslocamento x em relação à posição de equilíbrio:
F = -k cdot x
O sinal negativo indica que a força da mola sempre atua na direção oposta ao deslocamento, ou seja, tenta retornar a massa para a posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante F com a massa m e a aceleração a:
F = m cdot a
Como não há atrito, a única força agindo na massa é a força da mola. Então podemos igualar as duas expressões:
m cdot a = -k cdot x

Passo 4

A aceleração a é a segunda derivada da posição x em relação ao tempo t, ou seja, a = d^2xdt^2. Substituindo na equação anterior, temos:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x
Podemos rearranjar para obter uma equação diferencial padrão da forma:
d^2xdt^2 + km cdot x = 0

Passo 5

Essa é a equação de movimento de um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
x(t) = A cdot cos(omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude da oscilação,
  • omega = raizkm é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.

Passo 6

Podemos também determinar o período T da oscilação, que é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. O período está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
T = 2piomega = 2pi raizmk

Passo 7

Então, resumindo, para analisar o movimento desse sistema massa-mola sem atrito, usamos a Lei de Hooke para encontrar a força da mola, aplicamos a segunda lei de Newton para relacionar força, massa e aceleração, e resolvemos a equação diferencial resultante para encontrar a posição da massa em função do tempo.

Resposta

A massa oscila de forma harmônica com período T = 2pi raizmk.

Exercícios relacionados