Um sistema massa-mola tem um corpo de massa
preso a uma mola de constante
e se move em uma superfície sem atrito.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um sistema massa-mola. Basicamente, é um corpo com massa
preso a uma mola que tem uma constante elástica
, e esse conjunto está se movendo sobre uma superfície sem atrito. A gente vai usar conceitos de física, mais especificamente de dinâmica e harmônicos simples, para analisar esse sistema. Vamos precisar entender como a força da mola funciona e como isso influencia o movimento da massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a mola se comporta. A força exercida por uma mola é dada pela Lei de Hooke, que diz que a força
é proporcional ao deslocamento
em relação à posição de equilíbrio:
O sinal negativo indica que a força da mola sempre atua na direção oposta ao deslocamento, ou seja, tenta retornar a massa para a posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante
com a massa
e a aceleração
:
Como não há atrito, a única força agindo na massa é a força da mola. Então podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
A aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
, ou seja,
. Substituindo na equação anterior, temos:
Podemos rearranjar para obter uma equação diferencial padrão da forma:
Passo 5
Essa é a equação de movimento de um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde:
-
é a amplitude da oscilação, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Passo 6
Podemos também determinar o período
da oscilação, que é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. O período está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
Passo 7
Então, resumindo, para analisar o movimento desse sistema massa-mola sem atrito, usamos a Lei de Hooke para encontrar a força da mola, aplicamos a segunda lei de Newton para relacionar força, massa e aceleração, e resolvemos a equação diferencial resultante para encontrar a posição da massa em função do tempo.
Resposta
A massa oscila de forma harmônica com período
.