Um sistema mecânico com um grau de liberdade executa um movimento harmônico simples movimento não amortecido - com frequência w_{n}=100 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Considerando-se que, no instante t=0, a posição do sistema era dada por y_{0}=0.1 \mathrm{~m} e sua velocidade era v_{0}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine:
a) A resposta do sistema, identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração;
b) A velocidade máxima e aceleração máxima do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema não amortecido em movimento harmônico simples com frequência angular \omega_{n}=100\\ \mathrm{rad/s}. No instante t=0 temos posição inicial y_{0}=0,1\\ \mathrm{m} e velocidade inicial v_{0}=15\\ \mathrm{m/s}. O que se pede:
a) a resposta do sistema y(t), identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração;
b) a velocidade máxima e a aceleração máxima do sistema.
Informações relevantes e conhecidas (copiadas do enunciado): \omega_{n}=100\\ \mathrm{rad/s}, y(0)=y_{0}=0,1\\ \mathrm{m}, v(0)=v_{0}=15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Forma geral da solução para um MHS não amortecido e escolha de convenção. Vou usar a forma
y(t)=A\cos\big(\omega_{n}t-\varphi\big),
onde:
  • A é a amplitude (em metros), representa o deslocamento máximo absoluto;
  • \omega_{n} é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é o ângulo de fase (em radianos), que desloca a curva no tempo.
Explico porque essa forma é prática: ela permite escrever as condições iniciais de forma direta. Derivando,
v(t)=\frac{dy}{dt}=-A\omega_{n}\sin\big(\omega_{n}t-\varphi\big).
Aplicando em t=0 obtemos as equações para A e \varphi:
y(0)=A\cos\varphi = y_{0},
v(0)= -A\omega_{n}\sin(-\varphi)=A\omega_{n}\sin\varphi = v_{0}.
Dessas duas equações segue o sistema
A\cos\varphi = y_{0},\qquad A\omega_{n}\sin\varphi = v_{0}.
Daí podemos obter fórmulas simples e diretas:
A=\sqrt{y_{0}^{2}+\Big(\frac{v_{0}}{\omega_{n}}\Big)^{2}},
\varphi=\arctan\!\Big(\frac{v_{0}}{\omega_{n}y_{0}}\Big),
observando que, para escolher corretamente o quadrante de \varphi, é preferível usar a função \operatorname{atan2} com argumentos (v_{0}/\omega_{n},\,y_{0}). Aqui os sinais dados fazem com que a fórmula acima dê \varphi no primeiro quadrante porque y_{0}>0 e v_{0}>0.
Pequena intuição: a amplitude vem da soma quadrática entre posição inicial e “posição equivalente” dada pela velocidade inicial dividida por \omega. Isso aparece porque posição e velocidade são as componentes (coseno e seno) da mesma amplitude.

Passo 3

Cálculo da amplitude A passo a passo. Primeiro calcule
\frac{v_{0}}{\omega_{n}}=\frac{15}{100}=0,15\\ \mathrm{m}.
Agora as parcelas quadradas:
y_{0}^{2}=(0,1)^{2}=0,01,
\Big(\frac{v_{0}}{\omega_{n}}\Big)^{2}=(0,15)^{2}=0,0225.
Somando e extraindo raiz:
A=\sqrt{0,01+0,0225}=\sqrt{0,0325}=0,180277\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando de modo prático (3 ou 4 algarismos significativos):
A\approx 0,1803\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do ângulo de fase \varphi. Primeiro a razão
\frac{v_{0}}{\omega_{n}y_{0}}=\frac{15}{100\cdot 0,1}=\frac{15}{10}=1,5.
Então
\varphi=\arctan(1,5).
Usando tabelas/uma calculadora para arctan (ou sabendo aproximar): \arctan(1,5)\approx 0,9827937\\ \mathrm{rad}. Em graus:
\varphi\approx 0,9827937\\ \mathrm{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 56,3099^\circ.
Portanto, com arredondamento prático:
\varphi\approx 0,9828\\ \mathrm{rad}\quad(\approx 56,31^\circ).
Observação didática rápida: usei a forma y=A\cos(\omega t-\varphi) porque ela leva a y(0)=A\cos\varphi e v(0)=A\omega\sin\varphi — relações diretas que simplificam a obtenção de A e \varphi. Se tivéssemos escolhido y=A\sin(\omega t+\psi) as fórmulas mudariam, mas o resultado físico (mesma amplitude e fase equivalente) seria o mesmo.

Passo 5

Escrevendo a resposta completa y(t) com os valores obtidos:
y(t)=A\cos\big(\omega_{n}t-\varphi\big)=0,180277\cos\big(100\,t-0,9827937\big)\\ \mathrm{m}.
Com arredondamento prático:
y(t)\approx 0,1803\cos\big(100\,t-0,9828\big)\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Velocidade e aceleração máximas — fórmulas e cálculo. Para MHS:
v(t)=-A\omega_{n}\sin(\omega_{n}t-\varphi),\qquad a(t)=-A\omega_{n}^{2}\cos(\omega_{n}t-\varphi).
Os máximos em módulo são
v_{\max}=A\omega_{n},\qquad a_{\max}=A\omega_{n}^{2}.
Cálculo numérico:
v_{\max}=A\omega_{n}=0,180277\cdot 100=18,0277\\ \mathrm{m/s},
a_{\max}=A\omega_{n}^{2}=0,180277\cdot 100^{2}=0,180277\cdot 10000=1802,77\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando:
v_{\max}\approx 18,03\\ \mathrm{m/s},\qquad a_{\max}\approx 1802,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação rápida: a velocidade máxima ocorre quando a função seno vale \pm 1 (posições de passagem pela origem); a aceleração máxima ocorre quando o cosseno vale \pm 1 (nos extremos da oscilação).

Resposta

(a) A=0,1803\\ \mathrm{m},\\ \varphi=0,9828\\ \mathrm{rad}\\ (56,31^\circ), com y(t)\approx 0,1803\cos\big(100\,t-0,9828\big)\\ \mathrm{m}.
(b) v_{\max}=18,03\\ \mathrm{m/s},\\ a_{\max}=1802,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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