Um sistema mecânico com um grau de liberdade executa um movimento harmônico simples movimento não amortecido - com frequência
. Considerando-se que, no instante
, a posição do sistema era dada por
e sua velocidade era
, determine:
a) A resposta do sistema, identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração;
b) A velocidade máxima e aceleração máxima do sistema.
a) A resposta do sistema, identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração;
b) A velocidade máxima e aceleração máxima do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema não amortecido em movimento harmônico simples com frequência angular
. No instante
temos posição inicial
e velocidade inicial
. O que se pede:
a) a resposta do sistema , identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração;
b) a velocidade máxima e a aceleração máxima do sistema.
a) a resposta do sistema
b) a velocidade máxima e a aceleração máxima do sistema.
Informações relevantes e conhecidas (copiadas do enunciado):
,
,
.
Passo 2
Forma geral da solução para um MHS não amortecido e escolha de convenção. Vou usar a forma
onde:
-
é a amplitude (em metros), representa o deslocamento máximo absoluto; -
é a frequência angular (em ); -
é o ângulo de fase (em radianos), que desloca a curva no tempo.
Explico porque essa forma é prática: ela permite escrever as condições iniciais de forma direta. Derivando,
Aplicando em
obtemos as equações para
e
:
Dessas duas equações segue o sistema
Daí podemos obter fórmulas simples e diretas:
observando que, para escolher corretamente o quadrante de
, é preferível usar a função
com argumentos
. Aqui os sinais dados fazem com que a fórmula acima dê
no primeiro quadrante porque
e
.
Pequena intuição: a amplitude vem da soma quadrática entre posição inicial e “posição equivalente” dada pela velocidade inicial dividida por
. Isso aparece porque posição e velocidade são as componentes (coseno e seno) da mesma amplitude.
Passo 3
Cálculo da amplitude
passo a passo. Primeiro calcule
Agora as parcelas quadradas:
Somando e extraindo raiz:
Arredondando de modo prático (3 ou 4 algarismos significativos):
Passo 4
Cálculo do ângulo de fase
. Primeiro a razão
Então
Usando tabelas/uma calculadora para arctan (ou sabendo aproximar):
. Em graus:
Portanto, com arredondamento prático:
Observação didática rápida: usei a forma
porque ela leva a
e
— relações diretas que simplificam a obtenção de
e
. Se tivéssemos escolhido
as fórmulas mudariam, mas o resultado físico (mesma amplitude e fase equivalente) seria o mesmo.
Passo 5
Escrevendo a resposta completa
com os valores obtidos:
Com arredondamento prático:
Passo 6
Velocidade e aceleração máximas — fórmulas e cálculo. Para MHS:
Os máximos em módulo são
Cálculo numérico:
Arredondando:
Interpretação rápida: a velocidade máxima ocorre quando a função seno vale
(posições de passagem pela origem); a aceleração máxima ocorre quando o cosseno vale
(nos extremos da oscilação).
Resposta
(a)
com
(b)
(b)