1. O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador determinou que o eixo escolhido fosse vazado e com diâmetros interno e externo de 100 mm e 150 mm , respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 82 MPa , determine o valor do torque máximo que pode ser transmitido (a) pelo eixo conforme o projeto preliminar, (b) por um eixo de seção cheia com o mesmo peso, (c) por um eixo de seção vazada com o mesmo peso e com diâmetro externo de 200 mm .

Passo 1

O enunciado dá um eixo vazado com diâmetro interno \,d_i=100\\ \text{mm}\, e diâmetro externo \,d_o=150\\ \text{mm}\,, e pede para determinar o torque máximo transmissível sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é \,\tau_{\text{adm}}=82\\ \text{MPa}\, (ou seja \,82\\ \text{N}/\text{mm}^2).\n
As perguntas são tiga (cada uma independente):\n
(a) determinar o torque máximo que esse eixo vazado (projeto preliminar) pode transmitir;\n
(b) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo de seção cheia com o mesmo peso (mesma área da seção transversal) do eixo vazado original;\n
(c) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo vazado, com o mesmo peso do eixo original, mas com diâmetro externo \,d_{o2}=200\\ \text{mm}\,.\n
Informações relevantes resumidas: \,d_i=100\\ \text{mm}\,,\\ d_o=150\\ \text{mm}\,,\\ \tau_{\text{adm}}=82\\ \text{N}/\text{mm}^2. A massa/ peso é proporcional à área da seção transversal (mesmo material e mesmo comprimento), então “mesmo peso” significa “mesma área da seção” para as partes (b) e (c).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagar, como se estivéssemos rascunhando na prova):
  1. Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular sujeito a torque: quando um eixo circular (cheio ou vazado) é carregado por um torque \,T, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \,\tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (unidade \text{N}/\text{mm}^2);
  • \,T é o torque aplicado (unidade \text{N}\cdot\text{mm});
  • \,c é o raio externo (ou seja metade do diâmetro externo) ( \text{mm});
  • \,J é o momento polar de inércia da seção transversal em relação ao centro (unidade \text{mm}^4).\n
    No problema queremos o torque máximo admissível, então isolamos T:
T=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Isso é prático: calculamos J e c da seção, multiplicamos por \tau_{\text{adm}} e dividimos por c.
  1. Fórmulas para J (momentos polares) das seções circulares:
  • Para um eixo sólido de diâmetro \,d:
J_{\text{cheio}}=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Para um eixo vazado com diâmetro externo \,d_o e interno \,d_i:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}{32}.
Explicação curta: essas fórmulas são derivadas da integral do segundo momento de área em radiais; não precisa decorar profundamente, mas é importante saber aplicar corretamente.
  1. Relação “mesmo peso” → mesma área da seção transversal: a área de uma seção vazada é
A_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{4}\left(d_{o}^{2}-d_{i}^{2}\right),
e a área de uma seção cheia é
A_{\text{cheio}}=\frac{\pi}{4}d^{2}.
Igualando as áreas obtemos o diâmetro do eixo cheio equivalente em massa.
Agora vamos aplicar passo a passo às partes (a), (b) e (c).

Passo 3

Cálculo detalhado para (a) — eixo vazado do projeto preliminar:
Dados: \,d_o=150\\ \text{mm}, \,d_i=100\\ \text{mm}, \,\tau_{\text{adm}}=82\\ \text{N}/\text{mm}^2.\n
  1. Calcular J_{\text{vazado}} usando a fórmula:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}{32}.
Primeiro calcule os termos \,d_o^{4} e \,d_i^{4}:
d_o^{4}=150^{4}=506{,}250{,}000\\ \text{mm}^{4},\qquad d_i^{4}=100^{4}=100{,}000{,}000\\ \text{mm}^{4}.
Diferença:
d_o^{4}-d_i^{4}=406{,}250{,}000\\ \text{mm}^{4}.
Agora
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi\cdot 406{,}250{,}000}{32}\approx 39{,}883{,}000\\ \text{mm}^{4}.
(Arredondei mantendo precisão prática; o valor exato numérico é \approx 3,9883943\times 10^{7}\\ \text{mm}^{4}.)
  1. O raio externo (que é c na fórmula da tensão) é
c=\frac{d_o}{2}=\frac{150}{2}=75\\ \text{mm}.
  1. Agora o torque admissível:
T_{(a)}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{vazado}}}{c}=\frac{82\cdot 39{,}883{,}000}{75}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Calcule numericamente:
82\cdot 39{,}883{,}000=3{,}270{,}447{,}000\quad\Rightarrow\quad T_{(a)}=\frac{3{,}270{,}447{,}000}{75}\approx 43{,}606{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Converta para \text{N}\cdot\text{m} (dividir por 1000):
T_{(a)}\approx 43{,}606\\ \text{N}\cdot\text{m}\quad(\text{ou }43{,}606\\ \text{kN}\cdot\text{m} \text{ com vírgula decimal: } 43{,}606\\ \text{kN}\cdot\text{m}\text{ }=43{,}606\\ \text{N}\cdot\text{m}).í

Passo 4

Cálculo detalhado para (b) — eixo de seção cheia com o mesmo peso (mesma área):
  1. Área da seção vazada original:
A_{\text{orig}}=\frac{\pi}{4}\left(d_o^{2}-d_i^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(150^{2}-100^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot 12{,}500.
  1. Para que um eixo sólido tenha a mesma área, seu diâmetro d_s deve satisfazer
\frac{\pi}{4}d_s^{2}=\frac{\pi}{4}\cdot 12{,}500\quad\Rightarrow\quad d_s^{2}=12{,}500.
Logo
d_s=\sqrt{12{,}500}\approx 111{,}803\\ \text{mm}.
  1. Agora calcular o torque admissível para o eixo cheio de diâmetro \,d_s. Usamos J_{\text{cheio}}=\pi d^{4}/32 e c=d/2, mas é mais direto usar a forma reduzida:
T=\frac{\tau_{\text{adm}}J}{c}=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi d^{4}/32}{d/2}=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi d^{3}}{16}.
Portanto
T_{(b)}=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi d_{s}^{3}}{16}.
  1. Calcule d_s^{3}: como d_s^{2}=12{,}500, temos
d_s^{3}=d_s^{2}\cdot d_s=12{,}500\cdot 111{,}803\approx 1{,}397{,}542{,}5\\ \text{mm}^{3}.
Agora
T_{(b)}=82\cdot\frac{\pi\cdot 1{,}397{,}542{,}5}{16}\\ \text{N}\cdot\text{mm}\approx 22{,}504{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Convertendo para \text{N}\cdot\text{m}:
T_{(b)}\approx 22{,}504\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação prática: com o mesmo peso, o eixo vazado original transmite mais torque do que o eixo cheio equivalente (isso acontece porque o material do eixo vazado está mais afastado do centro, aumentando J por unidade de área).

Passo 5

Cálculo detalhado para (c) — eixo vazado com mesmo peso e diâmetro externo \,d_{o2}=200\\ \text{mm}:
  1. Mantendo o mesmo peso significa manter a mesma área da seção, então igualamos a área do novo vazado à área original:
\frac{\pi}{4}\left(d_{o2}^{2}-d_{i2}^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(150^{2}-100^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot 12{,}500.
Logo
d_{i2}^{2}=d_{o2}^{2}-12{,}500=200^{2}-12{,}500=40{,}000-12{,}500=27{,}500.
Portanto
d_{i2}=\sqrt{27{,}500}\approx 165{,}831\\ \text{mm}.
  1. Calcular J do novo vazado:
J_{\text{(c)}}=\frac{\pi\left(d_{o2}^{4}-d_{i2}^{4}\right)}{32}.
Como \,d_{o2}^{2}=40{,}000 e \,d_{i2}^{2}=27{,}500, temos \,d_{o2}^{4}=40{,}000^{2}=1{,}600{,}000{,}000 e \,d_{i2}^{4}=27{,}500^{2}=756{,}250{,}000. Diferença:
d_{o2}^{4}-d_{i2}^{4}=843{,}750{,}000.
Logo
J_{\text{(c)}}=\frac{\pi\cdot 843{,}750{,}000}{32}\approx 82{,}834{,}943\\ \text{mm}^{4}.
  1. O raio externo agora é
c_{2}=\frac{d_{o2}}{2}=\frac{200}{2}=100\\ \text{mm}.
  1. Torque admissível:
T_{\text{(c)}}=\frac{\tau_{\text{adm}}J_{\text{(c)}}}{c_{2}}=\frac{82\cdot 82{,}834{,}943}{100}\\ \text{N}\cdot\text{mm}\approx 67{,}925{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Converter para \text{N}\cdot\text{m}:
T_{\text{(c)}}\approx 67{,}925\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário curto: aumentar o diâmetro externo (mesmo mantendo a mesma massa) afasta mais material do centro e aumenta muito J, daí o grande ganho no torque transmissível.

Resposta

(a) \;43{,}606\\ \text{kN}\cdot\text{m}\n
(b) \;22{,}504\\ \text{kN}\cdot\text{m}\n
(c) \;67{,}925\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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