- O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador determinou que o eixo escolhido fosse vazado e com diâmetros interno e externo de 100 mm e 150 mm , respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 82 MPa , determine o valor do torque máximo que pode ser transmitido (a) pelo eixo conforme o projeto preliminar, (b) por um eixo de seção cheia com o mesmo peso, (c) por um eixo de seção vazada com o mesmo peso e com diâmetro externo de 200 mm .
Passo 1
O enunciado dá um eixo vazado com diâmetro interno
e diâmetro externo
, e pede para determinar o torque máximo transmissível sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é
(ou seja
).\n
As perguntas são tiga (cada uma independente):\n
(a) determinar o torque máximo que esse eixo vazado (projeto preliminar) pode transmitir;\n
(b) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo de seção cheia com o mesmo peso (mesma área da seção transversal) do eixo vazado original;\n
(c) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo vazado, com o mesmo peso do eixo original, mas com diâmetro externo .\n
Informações relevantes resumidas: . A massa/ peso é proporcional à área da seção transversal (mesmo material e mesmo comprimento), então “mesmo peso” significa “mesma área da seção” para as partes (b) e (c).
As perguntas são tiga (cada uma independente):\n
(a) determinar o torque máximo que esse eixo vazado (projeto preliminar) pode transmitir;\n
(b) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo de seção cheia com o mesmo peso (mesma área da seção transversal) do eixo vazado original;\n
(c) determinar o torque máximo que pode transmitir um eixo vazado, com o mesmo peso do eixo original, mas com diâmetro externo
Informações relevantes resumidas:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagar, como se estivéssemos rascunhando na prova):
- Tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular sujeito a torque: quando um eixo circular (cheio ou vazado) é carregado por um torque
, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa) é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (unidade ); -
é o torque aplicado (unidade ); -
é o raio externo (ou seja metade do diâmetro externo) ( ); -
é o momento polar de inércia da seção transversal em relação ao centro (unidade ).\n
No problema queremos o torque máximo admissível, então isolamos:
Isso é prático: calculamos
e
da seção, multiplicamos por
e dividimos por
.
- Fórmulas para
(momentos polares) das seções circulares:
- Para um eixo sólido de diâmetro
:
- Para um eixo vazado com diâmetro externo
e interno :
Explicação curta: essas fórmulas são derivadas da integral do segundo momento de área em radiais; não precisa decorar profundamente, mas é importante saber aplicar corretamente.
- Relação “mesmo peso” → mesma área da seção transversal: a área de uma seção vazada é
e a área de uma seção cheia é
Igualando as áreas obtemos o diâmetro do eixo cheio equivalente em massa.
Agora vamos aplicar passo a passo às partes (a), (b) e (c).
Passo 3
Cálculo detalhado para (a) — eixo vazado do projeto preliminar:
Dados:
,
,
.\n
- Calcular
usando a fórmula:
Primeiro calcule os termos
e
:
Diferença:
Agora
(Arredondei mantendo precisão prática; o valor exato numérico é
.)
- O raio externo (que é
na fórmula da tensão) é
- Agora o torque admissível:
Calcule numericamente:
Converta para
(dividir por
):
Passo 4
Cálculo detalhado para (b) — eixo de seção cheia com o mesmo peso (mesma área):
- Área da seção vazada original:
- Para que um eixo sólido tenha a mesma área, seu diâmetro
deve satisfazer
Logo
- Agora calcular o torque admissível para o eixo cheio de diâmetro
. Usamos e , mas é mais direto usar a forma reduzida:
Portanto
- Calcule
: como , temos
Agora
Convertendo para
:
Observação prática: com o mesmo peso, o eixo vazado original transmite mais torque do que o eixo cheio equivalente (isso acontece porque o material do eixo vazado está mais afastado do centro, aumentando
por unidade de área).
Passo 5
Cálculo detalhado para (c) — eixo vazado com mesmo peso e diâmetro externo
:
- Mantendo o mesmo peso significa manter a mesma área da seção, então igualamos a área do novo vazado à área original:
Logo
Portanto
- Calcular
do novo vazado:
Como
e
, temos
e
. Diferença:
Logo
- O raio externo agora é
- Torque admissível:
Converter para
:
Comentário curto: aumentar o diâmetro externo (mesmo mantendo a mesma massa) afasta mais material do centro e aumenta muito
, daí o grande ganho no torque transmissível.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)