Para o sistema metano (1) e/acetato de metila (2), as equações a seguir oferecem correlações razoáveis para o cálculo do coeficiente de atividade.
Além disso, as seguintes equações de Antoine fornecem as pressões de vapor:
onde
e
. Considerando válida a lei de Raoult modificada, calcule:
a.
e
para
e
b. Te
para
e
c. A pressão e a composição azeotrópica para
a.
b. Te
c. A pressão e a composição azeotrópica para
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede os itens indicados.
Dados fornecidos:
as equações de Antoine (onde
está em
e
em
):
Pedidos:
a. Calcular e
para
e
.
b. Calcular e
para
e
.
c. Calcular a pressão e a composição azeotrópica para .
a. Calcular
b. Calcular
c. Calcular a pressão e a composição azeotrópica para
Observação importante: o parâmetro
aparece nas expressões de
e não foi numéricomente informado no enunciado que você me enviou. Esse
é imprescindível para obter valores numéricos finais. Portanto:
- Nesta resolução eu vou montar todas as equações e os procedimentos necessários e apresentarei as respostas finais em função de
. - Se você me der o valor numérico de
, eu plugo e calculo os números finais imediatamente.]
Passo 2
Relembrando a lei de Raoult modificada e como usamos as equações dadas (aula rápida e prática):
- A lei de Raoult modificada diz que a contribuição parcial do componente
à pressão total é
onde
-
é a fração molar do componente na fase líquida; -
é o coeficiente de atividade do componente (corrige não-idealidade do líquido); -
é a pressão de vapor saturada do componente puro à temperatura . - A pressão total é
- A composição da fase vapor é
Como obter
: usar as equações de Antoine dadas (neste enunciado usam o logaritmo natural). Vou calcular numericamente
e
para
porque será útil nos itens (a) e (c).
Cálculo de
em
:
Calcule o denominador:
.
Então
Então
logo
Cálculo de
em
:
Denominador:
.
Então
Então
logo
Resumo numérico (retido para uso):
Passo 3
Primeiro calculamos os coeficientes de atividade usando as fórmulas dadas:
Portanto
Agora a pressão total pela Raoult modificada:
Multiplicando os fatores numéricos:
Logo a expressão final em função de
é
As frações molares na fase vapor são
onde
é a expressão acima. Observação: se você me passar o valor de
, eu calculo
e
numericamente sem mistério.]
Passo 4
Aqui o enunciado dá pressão total e pede a temperatura de bolha
(e as composições do vapor). O procedimento padrão:
- Calcular
a partir de e (note que, no modelo dado, dependem só das frações líquidas, não de ). Com temos , então
portanto
- A condição de ponto de bolha (equação a resolver para
) é
Substituindo valores numéricos conhecidos:
Aqui
vem das equações de Antoine (as duas equações dadas no enunciado).
- Método numérico: essa equação é não-linear em
. Para resolver na prova sem calculadora numérica completa você pode:
- usar um método iterativo simples (bisseção) escolhendo um intervalo razoável de
(por exemplo entre e ) e avaliar até fechar; ou - fazer uma estimativa inicial (por exemplo, pegar
próximo de e iterar com método de Newton) — eu mostro uma iteração se você der .
- Após encontrar
, calcule
Sem o valor numérico de
não é possível fornecer
e
numéricos; deixei a equação explícita para que você ou eu possamos resolver assim que tivermos
.
Passo 5
Condição de azeótropo em P-T fixo: para um azeótropo (líquido e vapor com mesma composição) vale
. Usando Raoult modificada isso implica
Logo, no azeótropo deve ocorrer
Tomando logaritmo natural,
Substituindo
e
,
Rearranjando os termos que envolvem
(lembre que
):
Agora simplificamos
(os termos
se cancelam). Assim obtemos uma fórmula simples para
no azeótropo:
Isolando
:
Como já calculei
e
, o termo logarítmico é
Portanto em forma prática:
A pressão azeotrópica
pode ser obtida por
Substituindo
e usando
,
ou equivalentemente usando o componente 2,
Conclusão didática rápida sobre sinais e existência: a fórmula para
mostra que, dependendo do sinal e magnitude de
, pode sair um
fisicamente aceitável (entre
e
) ou não. Em particular, para existir azeótropo com
precisa que
dê um valor tal que
.
Se você quiser, me diga o valor de
(ou autorizar que eu use um valor típico), que eu:
- calculo numericamente o item (a) (já tenho
em ); - resolvo numericamente (b) para obter
e ; - avalio (c) e dou
e numéricos.
Resposta
a)
b)
é raiz da equação
onde
vêm das equações de Antoine; após obter
,
c) Com
e
temos
. Assim
e