Um fluido biológicoque obedece à lei exponencial e é purê de banana flui a 23,9^{\circ} \mathrm{C} com uma velocidade de 1,018 \mathrm{~m} / \mathrm{s} através de um tubo liso de 6,10 \mathrm{~m} de comprimento com um diâmetro interno de 0,01267 \mathrm{~m}. As propriedades de fluxo deste purê são \mathrm{K}=6,00 \mathrm{~N}.s ou 454 / \mathrm{m}^{2} e \mathrm{n}= 0,454 . A massa específica do fluido é 976 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Calcule o número de Reynolds generalizado e a queda de pressão usando a equação. Certifique-se de converter K para K’ antes de prosseguir.

Passo 1

Enunciado e dados (vou listar tudo claramente para a gente não se perder):\n
O enunciado pede duas coisas: calcular o número de Reynolds generalizado e a queda de pressão ao longo do tubo.\n
Dados fornecidos:\n
\rho=976\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\n
V=1,018\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\n
L=6,10\\ \mathrm{m}\n
D=0,01267\\ \mathrm{m}\n
K=6{,}00 (constante de consistência do fluido; unidades SI apropriadas =\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^n ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^n/\mathrm{m}^2)\n
n=0{,}454\n
O que devemos entregar: o número de Reynolds generalizado (adimensional) e a queda de pressão \Delta p no comprimento L do tubo.\n

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadinho passo a passo):\n
  1. Modelo exponencial (power‑law) — relação entre tensão de cisalhamento \tau e taxa de cisalhamento \dot\gamma:\n
\tau = K\,\dot\gamma^{\,n}\n
Aqui K é a consistência (unidade: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^n), n é o índice de comportamento reológico, e \dot\gamma é a taxa de cisalhamento (1/s).\n
2) Para escoamento totalmente desenvolvido em tubo, a taxa de cisalhamento na parede \dot\gamma_w tem a expressão (obtida do perfil de velocidade para fluido power‑law):\n
\dot\gamma_w = \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8V}{D}\n
Explicação curta: o fator \dfrac{3n+1}{4n} surge quando se relaciona o gradiente de velocidade na parede com a velocidade média V para um perfil power‑law; o fator 8V/D é a taxa de cisalhamento de referência para perfil parabólico (Newtoniano).\n
3) Definição prática do número de Reynolds generalizado que usaremos (forma conveniente):\n
Re_G = \frac{\rho\,V^{2-n}\,D^{n}}{K'}\n
Aqui K' é uma constante obtida a partir de K por uma transformação que incorpora os fatores do cálculo de \dot\gamma_w. Vou mostrar como obter K' no próximo passo.\n
4) Para escoamento laminar totalmente desenvolvido de um fluido power‑law, a forma prática da função de atrito é análoga à Newtoniana, levando à relação simples:\n
f = \frac{16}{Re_G}\n
Essa relação é análoga à f=64/Re para Newtoniano, mas adaptada à definição do Re_G que usamos. Com f conhecido, usamos a fórmula de Darcy‑Weisbach para queda de pressão:\n
\Delta p = f\cdot\frac{\rho V^2}{2}\cdot\frac{L}{D}\n
Explicação: \dfrac{\rho V^2}{2} é a pressão dinâmica, e \dfrac{L}{D} é o comprimento adimensional. A constante f representa a perda por atrito ao longo do tubo.\n

Passo 3

Converter K em K' (passo exigido pelo enunciado) — dedução e cálculo numérico detalhado:\n
Partimos da definição dada do Re_G e da expressão para \dot\gamma_w. Ao expressar a viscosidade aparente em termos de K e \dot\gamma_w e rearranjar para obter a forma \;Re_G=\dfrac{\rho V^{2-n}D^n}{K'}\;, obtemos a relação (mostro só o resultado algébrico essencial):\n
K' = K\cdot 8^{\,n-1}\cdot\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{\,n-1}\n
Observação: essa fórmula vem de escrever Re_G=\dfrac{\rho V D}{K\,\dot\gamma_w^{\,n-1}} e substituir \dot\gamma_w da etapa anterior; ao isolar os termos em potência de V e D chegamos à forma com K'.\n
Agora vamos calcular numericamente cada fator (vou mostrar as contas):\n
Calcule n-1:\n
n-1=0{,}454-1=-0{,}546\n
Calcule 8^{\,n-1}:\n
8^{\,n-1}=8^{-0{,}546} \approx 0{,}3217\n
Calcule o fator \dfrac{3n+1}{4n}:\n
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot 0{,}454+1}{4\cdot 0{,}454}=\frac{2{,}362}{1{,}816}\approx 1{,}30033\n
Agora eleve esse fator a n-1:\n
\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{n-1}=1{,}30033^{-0{,}546}\approx 0{,}8662\n
Multiplicando tudo para obter K':\n
K' = K\cdot 8^{\,n-1}\cdot\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{\,n-1}\n
K' = 6{,}00\times 0{,}3217\times 0{,}8662 \approx 1{,}6727\n
Unidade: K' tem as mesmas unidades de K, ou seja \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^n (ou equivalente \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^n/\mathrm{m}^2).\n

Passo 4

Calcular o número de Reynolds generalizado usando a fórmula direta e mostrando cada termo:\n
Fórmula que vamos usar:\n
Re_G = \frac{\rho\,V^{2-n}\,D^{n}}{K'}\n
Calcule 2-n:\n
2-n = 2-0{,}454 = 1{,}546\n
Calcule V^{\,2-n}:\n
V^{\,2-n} = 1{,}018^{\,1{,}546} \approx 1{,}02797\n
Calcule D^{\,n}:\n
D^{\,n} = 0{,}01267^{\,0{,}454} \approx 0{,}1376\n
Agora o numerador:\n
\rho\,V^{2-n}\,D^{n} = 976 \times 1{,}02797 \times 0{,}1376 \approx 137{,}93\n
Finalmente dividir por K':\n
Re_G = \frac{137{,}93}{1{,}6727}\approx 82{,}53\n
Interpretação rápida (pra te dar confiança): esse valor é baixo, indicando escoamento laminar no sentido do número de Reynolds generalizado para fluidos power‑law; portanto a fórmula laminar f=16/Re_G é aplicável.\n

Passo 5

Calcular o fator de atrito f para escoamento laminar e explicar a relação usada:\n
Para escoamento laminar totalmente desenvolvido de fluido power‑law, usando a definição adotada de Re_G, tem-se a relação simples:\n
f=\frac{16}{Re_G}\n
Cálculo numérico:\n
f = \frac{16}{82{,}53}\approx 0{,}19396\n
Explicação curta: essa relação é análoga à relação Newtoniana f=64/\mathrm{Re}; a constante 16 aparece aqui porque a forma de Re_G já incorpora fatores geométricos e de perfil (a derivação completa é semelhante à da teoria clássica, mas adaptada ao perfil power‑law).\n

Passo 6

Calcular a queda de pressão \Delta p usando a equação de Darcy‑Weisbach (detalhando cada substituição):\n
A fórmula é\n
\Delta p = f\cdot\frac{\rho V^2}{2}\cdot\frac{L}{D}\n
Calcule primeiro a pressão dinâmica:\n
\frac{\rho V^2}{2} = \frac{976\times (1{,}018)^2}{2}\n
(1{,}018)^2 = 1{,}036324\n
\frac{\rho V^2}{2} = \frac{976\times 1{,}036324}{2} \approx 505{,}7245\\ \mathrm{Pa}\n
Calcule L/D:\n
\frac{L}{D}=\frac{6{,}10}{0{,}01267}\approx 481{,}31\n
Agora junte tudo:\n
\Delta p = 0{,}19396\times 505{,}7245\times 481{,}31 \approx 47\,236\\ \mathrm{Pa}\n
Arredondando apropriadamente, temos \Delta p\approx 4{,}72\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}, ou cerca de 47{,}2\\ \mathrm{kPa}.\n
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas seguimos tudo passo a passo — resultado plausível (escoamento laminar e queda de pressão do tamanho esperado para um tubo estreito e fluido viscoso).\n

Resposta

Re_G \approx 82{,}5\n
\Delta p \approx 4{,}72\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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