Um líquido pseudoplástico com as seguintes propriedades: n=0,53, K =26,49 \mathrm{~N}{ }^{*} \mathrm{~s}^{\mathrm{n}} / \mathrm{m}^{2} e \rho=975 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} está sendo agitado em um sistema que pode ser observado via correlação de agitação com correlação de potência para turbinas de 6 pás e disco em fluidos pseudoplásticos, onde \mathrm{Da}=0,304 \mathrm{~m}, \mathrm{D},=0,151 \mathrm{~m} e \mathrm{N}=5 \mathrm{rev} / \mathrm{s}. Calcule \mu \mathrm{a}, \mathrm{N}_{\text {Re,n }}^{\prime} e a potência em quilowatts para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá um líquido pseudoplástico (modelo de potência) com as propriedades:
n=0{,}53,\quad K=26{,}49\\ \mathrm{N\cdot s^{n}/m^{2}},\quad \rho=975\\ \mathrm{kg/m^{3}}
e os dados do sistema:
D_a=0{,}304\\ \mathrm{m},\quad D=0{,}151\\ \mathrm{m},\quad N=5\\ \mathrm{rev/s}.
O que se pede:
  • calcular a viscosidade aparente \mu_a;
  • calcular o número de Reynolds generalizado \;N_{Re,n}^{\prime} (a versão usada em agitação, descrita abaixo);
  • calcular a potência P em quilowatts para esse sistema.
Observações importantes que extraí do enunciado (sem resolver ainda):
  • trata-se de fluido power-law (pseudoplástico), então usaremos a definição de viscosidade aparente e o procedimento de Metzner–Otto para agitação;
  • precisamos escolher o valor do coeficiente de mistura de taxas de deformação (constante de Metzner–Otto) k_s para o tipo de impelidor. Como o enunciado diz “turbina de 6 pás e disco” e não deu k_s explicitamente, vou usar um valor típico encontrado na literatura para turbinas radiais/disco: k_s\approx 11. Vou declarar e justificar essa escolha quando aplicá-la; se você tiver outro k_s (na sua apostila), basta substituir e repetir os cálculos.

Passo 2

Conceito e fórmula da viscosidade aparente \mu_a para fluidos power-law:
  • Para um fluido descrito pelo modelo de potência,
\tau = K\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde \tau é tensão de cisalhamento (Pa), K a consistência (unidade \mathrm{Pa\cdot s^{n}} ou \mathrm{N\cdot s^{n}/m^{2}}), \dot{\gamma} a taxa de cisalhamento (s^{-1}) e n o índice de comportamento.
  • A viscosidade aparente é definida como
\mu_a = \frac{\tau}{\dot{\gamma}} = K\,\dot{\gamma}^{\,n-1}.
  • Em agitação, não conhecemos o perfil local de \dot{\gamma}, então usa-se a estimativa de Metzner–Otto:
\dot{\gamma}_a = k_s\,N,
onde k_s é uma constante adimensional que depende do tipo de impelidor e geometria. Assim
\mu_a = K\,(k_s N)^{\,n-1}.

Passo 3

Escolha do valor de k_s e justificativa:
  • Para turbinas radiais estilo disco/turbina de pás (como turbina de 6 pás / disco), é comum na literatura usar valores de k_s na faixa de 9 a 12. Vou adotar o valor típico
k_s = 11,
por ser um valor frequentemente empregado para turbinas do tipo disco/radial quando nenhuma outra informação é dada. Se você tiver um valor diferente na sua matéria, troque k_s e reexecute os cálculos.

Passo 4

Cálculo numérico da viscosidade aparente \mu_a usando as fórmulas do Passo 2 e k_s=11.
Dados a aplicar:
K=26{,}49,\quad n=0{,}53,\quad N=5\\ \mathrm{s^{-1}},\quad k_s=11.
Primeiro calculemos k_s N:
k_s N = 11 \times 5 = 55\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora n-1 = 0{,}53 - 1 = -0{,}47. Portanto
\mu_a = K\,(k_s N)^{\,n-1} = 26{,}49 \times 55^{-0{,}47}.
Calcule 55^{-0{,}47}. Faço em duas etapas (log/exp mental):
\ln(55)\approx 4{,}0073,\quad -0{,}47\times 4{,}0073 \approx -1{,}8834,
logo
55^{-0{,}47} \approx e^{-1{,}8834}\approx 0{,}1522^{-1}\\ \text{(equivalente a }1/6{,}576\text{)},
na prática resulta em
55^{-0{,}47}\approx 0{,}1522 \quad\text{(ou }1/6{,}576\text{)}.
Agora
\mu_a \approx 26{,}49 \times 0{,}1522 \approx 4{,}03\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
(Unidade: \mathrm{N\cdot s/m^{2}}=\mathrm{Pa\cdot s}.)

Passo 5

Definição do número de Reynolds generalizado usado em agitação e como calculá-lo:
  • Uma definição prática usada em problemas de agitação é
N_{Re,n}^{\prime} = \frac{\rho\,N\,D^{2}}{\mu_a},
onde \mu_a é a viscosidade aparente calculada no Passo 4, D é o diâmetro do impelidor (aqui D=0{,}151\\ \mathrm{m}), N a velocidade de rotação em s^{-1} e \rho a densidade. Essa forma é muito usada em engenharia de mistura porque lembra a forma clássica \rho N D^{2}/\mu substituindo \mu por \mu_a.
(Observação: existem outras formas equivalentes de escrever o Reynolds generalizado para fluidos power-law; elas coincidem numericamente até constantes adimensionais relacionadas a k_s. Aqui uso a forma direta com \mu_a para facilitar o cálculo.)

Passo 6

Cálculo numérico de N_{Re,n}^{\prime}.
Dados:
\rho=975\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad N=5\\ \mathrm{s^{-1}},\quad D=0{,}151\\ \mathrm{m},\quad \mu_a\approx 4{,}03\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Calcule D^{2}:
D^{2} = 0{,}151^{2} = 0{,}022801\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o numerador:
\rho N D^{2} = 975\times 5 \times 0{,}022801 \approx 975 \times 0{,}114005 \approx 111{,}15.
Dividindo por \mu_a:
N_{Re,n}^{\prime} = \frac{111{,}15}{4{,}03} \approx 27{,}6.
Portanto o número de Reynolds generalizado é aproximadamente \;27{,}6. Isso indica um regime de escoamento na faixa laminar/transicional para misturas (não é turbulento forte).

Passo 7

Como calcular a potência P — formulação e escolha de correlação:
  • A potência consumida por um impelidor é dada pela definição do número de potência Np:
Np = \frac{P}{\rho\,N^{3}\,D^{5}} \quad \Longrightarrow \quad P = Np\;\rho\,N^{3}\,D^{5}.
  • Para obter P precisamos do valor de Np. O valor de Np depende fortemente do regime de escoamento (Reynolds generalizado) e da geometria do impelidor. Em escoamentos plenamente turbulentos Np tende a um valor constante (por exemplo, para turbinas tipo Rushton Np\approx 5 na faixa turbulenta), enquanto em regime laminar Np varia aproximadamente como inversamente proporcional a N_{Re,n}^{\prime} (ou seja, Np \propto 1/N_{Re,n}^{\prime}), com um coeficiente que depende da geometria.
  • Como aqui N_{Re,n}^{\prime}\approx 27{,}6 (regime transicional-baixo), devemos usar a correlação adequada a turbinas de disco/6 pás em fluidos power-law. Como o enunciado não forneceu a expressão numérica dessa correlação (nem um gráfico), uso uma prática comum em exercícios didáticos: para escoamentos não turbulentos usa-se uma correlação do tipo
Np \approx \frac{K_L}{N_{Re,n}^{\prime}},
onde K_L é um coeficiente geométrico experimental. Na literatura é comum encontrar valores de K_L na faixa de 100 a 140 para turbinas radiais em regime laminar/baixa-Re (o valor exato depende do número de pás e do desenho). Para sermos concretos e consistentes com valores típicos para turbinas de disco/pás, vou assumir
K_L = 115,
um valor representativo encontrado em tabelas de referência para turbinas radiais em regime não turbulento. (Se você tiver o valor de K_L da sua apostila, substitua e refaça o cálculo; o método é o mesmo.)

Passo 8

Cálculo do número de potência Np usando K_L=115 e N_{Re,n}^{\prime}=27{,}6:
Np \approx \frac{K_L}{N_{Re,n}^{\prime}} = \frac{115}{27{,}6} \approx 4{,}17.

Passo 9

Cálculo final da potência P (em Watts e depois em kW).
Usando
P = Np\;\rho\,N^{3}\,D^{5}.
Já calculamos:
Np\approx 4{,}17,\quad \rho=975\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad N^{3}=5^{3}=125,
e
D^{5} = 0{,}151^{5}.
Calcule D^{5}: já notei antes que
D^{2}=0{,}022801,\quad D^{4}=(D^{2})^{2}=0{,}0005196,\quad D^{5}=D^{4}\times D \approx 0{,}0005196\times 0{,}151\approx 7{,}849\times 10^{-5}.
Agora o produto \rho N^{3} D^{5}:
\rho N^{3} D^{5} \approx 975 \times 125 \times 7{,}849\times 10^{-5} \approx 9{,}5696\\ \mathrm{(W/Np)}.
Finalmente
P \approx Np \times 9{,}5696 \approx 4{,}17 \times 9{,}5696 \approx 39{,}9\\ \mathrm{W}.
Convertendo para quilowatts:
P \approx 0{,}0399\\ \mathrm{kW} \approx 0{,}040\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Resumo dos valores calculados e comentários finais sobre as suposições:
  • \mu_a calculada via Metzner–Otto com k_s=11: obtivemos \mu_a\approx 4{,}03\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Número de Reynolds generalizado (forma \rho N D^{2}/\mu_a): N_{Re,n}^{\prime}\approx 27{,}6.
  • Como N_{Re,n}^{\prime} está na faixa transicional/baixa, usei uma correlação do tipo Np=K_L/N_{Re,n}^{\prime} com K_L=115 (valor típico para turbinas radiais/disco em regime não turbulento), resultando em Np\approx 4{,}17 e potência P\approx 39{,}9\\ \mathrm{W} ou 0{,}040\\ \mathrm{kW}.
Observação final (motivacional): se na sua apostila/prova houver valores tabulados de k_s e de K_L específicos para a turbina de 6 pás e disco, troque essas constantes pelos valores fornecidos e refaça apenas as contas numéricas — o método é exatamente o mesmo. Se quiser, posso recalcular trocando k_s ou K_L por qualquer outro valor que você tenha.

Resposta

\mu_a \approx 4{,}03\\ \mathrm{Pa\cdot s}
N_{Re,n}^{\prime} \approx 27{,}6
P \approx 0{,}040\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados