Um líquido pseudoplástico com as seguintes propriedades:
e
está sendo agitado em um sistema que pode ser observado via correlação de agitação com correlação de potência para turbinas de 6 pás e disco em fluidos pseudoplásticos, onde
e
. Calcule
e a potência em quilowatts para este sistema.
Passo 1
O enunciado dá um líquido pseudoplástico (modelo de potência) com as propriedades:
e os dados do sistema:
O que se pede:
- calcular a viscosidade aparente
; - calcular o número de Reynolds generalizado
(a versão usada em agitação, descrita abaixo); - calcular a potência
em quilowatts para esse sistema.
Observações importantes que extraí do enunciado (sem resolver ainda):
- trata-se de fluido power-law (pseudoplástico), então usaremos a definição de viscosidade aparente e o procedimento de Metzner–Otto para agitação;
- precisamos escolher o valor do coeficiente de mistura de taxas de deformação (constante de Metzner–Otto)
para o tipo de impelidor. Como o enunciado diz “turbina de 6 pás e disco” e não deu explicitamente, vou usar um valor típico encontrado na literatura para turbinas radiais/disco: . Vou declarar e justificar essa escolha quando aplicá-la; se você tiver outro (na sua apostila), basta substituir e repetir os cálculos.
Passo 2
Conceito e fórmula da viscosidade aparente
para fluidos power-law:
- Para um fluido descrito pelo modelo de potência,
onde
é tensão de cisalhamento (Pa),
a consistência (unidade
ou
),
a taxa de cisalhamento (s^{-1}) e
o índice de comportamento.
- A viscosidade aparente é definida como
- Em agitação, não conhecemos o perfil local de
, então usa-se a estimativa de Metzner–Otto:
onde
é uma constante adimensional que depende do tipo de impelidor e geometria. Assim
Passo 3
Escolha do valor de
e justificativa:
- Para turbinas radiais estilo disco/turbina de pás (como turbina de 6 pás / disco), é comum na literatura usar valores de
na faixa de a . Vou adotar o valor típico
por ser um valor frequentemente empregado para turbinas do tipo disco/radial quando nenhuma outra informação é dada. Se você tiver um valor diferente na sua matéria, troque
e reexecute os cálculos.
Passo 4
Cálculo numérico da viscosidade aparente
usando as fórmulas do Passo 2 e
.
Dados a aplicar:
Primeiro calculemos
:
Agora
. Portanto
Calcule
. Faço em duas etapas (log/exp mental):
logo
na prática resulta em
Agora
(Unidade:
.)
Passo 5
Definição do número de Reynolds generalizado usado em agitação e como calculá-lo:
- Uma definição prática usada em problemas de agitação é
onde
é a viscosidade aparente calculada no Passo 4,
é o diâmetro do impelidor (aqui
),
a velocidade de rotação em s^{-1} e
a densidade. Essa forma é muito usada em engenharia de mistura porque lembra a forma clássica
substituindo
por
.
(Observação: existem outras formas equivalentes de escrever o Reynolds generalizado para fluidos power-law; elas coincidem numericamente até constantes adimensionais relacionadas a
. Aqui uso a forma direta com
para facilitar o cálculo.)
Passo 6
Cálculo numérico de
.
Dados:
Calcule
:
Agora o numerador:
Dividindo por
:
Portanto o número de Reynolds generalizado é aproximadamente
. Isso indica um regime de escoamento na faixa laminar/transicional para misturas (não é turbulento forte).
Passo 7
Como calcular a potência
— formulação e escolha de correlação:
- A potência consumida por um impelidor é dada pela definição do número de potência
:
- Para obter
precisamos do valor de . O valor de depende fortemente do regime de escoamento (Reynolds generalizado) e da geometria do impelidor. Em escoamentos plenamente turbulentos tende a um valor constante (por exemplo, para turbinas tipo Rushton na faixa turbulenta), enquanto em regime laminar varia aproximadamente como inversamente proporcional a (ou seja, ), com um coeficiente que depende da geometria. - Como aqui
(regime transicional-baixo), devemos usar a correlação adequada a turbinas de disco/6 pás em fluidos power-law. Como o enunciado não forneceu a expressão numérica dessa correlação (nem um gráfico), uso uma prática comum em exercícios didáticos: para escoamentos não turbulentos usa-se uma correlação do tipo
onde
é um coeficiente geométrico experimental. Na literatura é comum encontrar valores de
na faixa de
a
para turbinas radiais em regime laminar/baixa-Re (o valor exato depende do número de pás e do desenho). Para sermos concretos e consistentes com valores típicos para turbinas de disco/pás, vou assumir
um valor representativo encontrado em tabelas de referência para turbinas radiais em regime não turbulento. (Se você tiver o valor de
da sua apostila, substitua e refaça o cálculo; o método é o mesmo.)
Passo 8
Cálculo do número de potência
usando
e
:
Passo 9
Cálculo final da potência
(em Watts e depois em kW).
Usando
Usando
Já calculamos:
e
Calcule
: já notei antes que
Agora o produto
:
Finalmente
Convertendo para quilowatts:
Passo 10
Resumo dos valores calculados e comentários finais sobre as suposições:
-
calculada via Metzner–Otto com : obtivemos . - Número de Reynolds generalizado (forma
): . - Como
está na faixa transicional/baixa, usei uma correlação do tipo com (valor típico para turbinas radiais/disco em regime não turbulento), resultando em e potência ou .
Observação final (motivacional): se na sua apostila/prova houver valores tabulados de
e de
específicos para a turbina de 6 pás e disco, troque essas constantes pelos valores fornecidos e refaça apenas as contas numéricas — o método é exatamente o mesmo. Se quiser, posso recalcular trocando
ou
por qualquer outro valor que você tenha.