O sistema de numeração binário é o mais importante em sistemas digitais, mas há outros também importantes. É especialmente difícil tentar transmitir uma quantidade binária quando se está falando com alguém. O sistema de numeração de base hexadecimal (base 16) se tornou a maneira padrão de comunicar valores numéricos em sistemas digitais. A grande vantagem é que os números hexadecimais podem ser facilmente convertidos para o sistema binário e vice-versa. Veremos que muitas ferramentas de computador avançadas, que são projetadas para ajudar criadores de softwares a lidar com problemas ou vírus em seus programas, usam o sistema de numeração hexadecimal para inserir números armazenados no computador como binários e exibi-los novamente como hexadecimais. Outras maneiras de representar quantidades decimais com dígitos codificados em binário foram inventadas. Apesar de não serem realmente sistemas de numeração, facilitam a conversão entre o código binário e o sistema de numeração
decimal. Esses códigos costumam ser chamados de decimal codificado em binário (BCD). Quantidades e padrões de bits podem ser representados por quaisquer desses métodos em qualquer sistema dado e em todo o material escrito referente ao sistema digital. Por isso, é muito importante que você seja capaz de interpretar valores em qualquer sistema e efetuar conversões entre quaisquer dessas representações numéricas. Dessa forma, existem outros códigos que usam 1s e 0s para representar elementos como caracteres alfanuméricos. Apresente e explique os seguintes códigos:
Excesso 3

Passo 1

O enunciado pede apresentar e explicar o código decimal codificado em binário conhecido como Excesso- 3 (ou XS- 3). Este código faz parte da família dos códigos BCD (Decimal Codificado em Binário) e é muito utilizado em sistemas digitais para representar dígitos decimais com quatro bits, facilitando detecção de erros e certas operações aritméticas.

Passo 2

A regra de formação do código Excesso- 3 é simples: para cada dígito decimal d (onde d\in\{0,1,\dots,9\}), calcula-se o valor d+3 e converte-se este resultado para um número binário de quatro bits. Em símbolos:
\text{XS-3}(d) = \text{binário de }(d + 3)\text{ em 4 bits.}á
Como d+3 varia de 3 a 12, nenhum código resulta em 0000 ou em valores acima de 1100, o que ajuda na detecção de dígitos inválidos.

Passo 3

A tabela de mapeamento decimal \to Excesso- 3 fica assim:
\begin{array}{c|cccccccccc} d & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\ \hline \text{XS-3}(d) & 0011 & 0100 & 0101 & 0110 & 0111 & 1000 & 1001 & 1010 & 1011 & 1100 \end{array}

Passo 4

Propriedades e usos principais:
1. Autoverificação: não existem padrões de quatro bits fora do intervalo de 0011 a 1100, então qualquer código inválido é facilmente detectado.
2. Self-complementaridade: o complemento bit a bit de um código Excesso- 3 de d produz o código Excesso- 3 de 9-d, o que facilita operações de subtração.
3. Conversão direta: para converter um número decimal composto, aplica-se o mapeamento a cada dígito separadamente.

Passo 5

Exemplo de conversão do número decimal 27 para Excesso- 3:
  • Dígito 2: 2+3=5 \Rightarrow binário 0101.
  • Dígito 7: 7+3=10 \Rightarrow binário 1010.
    Logo,
27_{10} \xrightarrow{\text{XS-3}} 0101\;\,1010.

Resposta

O código Excesso- 3 representa cada dígito decimal d por \text{XS-3}(d)= binário de d+3 em 4 bits, conforme a tabela
\begin{array}{c|cccccccccc} d & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\\ \hline \text{XS-3}(d) & 0011 & 0100 & 0101 & 0110 & 0111 & 1000 & 1001 & 1010 & 1011 & 1100 \end{array}
Esse código facilita a detecção de erros e operações aritméticas em sistemas digitais.

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