Em um sistema oscilatório com uma força de atrito viscoso temos:
F_{m o l a}+F_{a t r i t o}=-k x-b \frac{d x}{d t}
onde k é a constante da mola e b é a constante de amortecimento. Logo, a equação de movimento fica:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=0
Considere o oscilador como estando nos seguintes regimes e resolva a equação diferencial para as condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=v_{0}.
Regime crítico

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador amortecido
m \frac{d^{2}x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0
e pede a solução no regime crítico (quando o amortecimento é justo, isto é, b^2 = 4mk), com condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=v_{0}. Vamos usar resolução de equação linear de segunda ordem com raízes iguais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
m r^2 + b r + k = 0.
No regime crítico o discriminante é zero:
\Delta = b^2 - 4mk = 0,
logo há raiz única
r = -\frac{b}{2m}.

Passo 3

Quando a raiz é dupla, a solução geral da EDO é
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{r t} \quad\text{com}\quad r = -\frac{b}{2m}.

Passo 4

Impondo x(0)=0 temos
x(0)=C_1 = 0.
Para encontrar C_2 calculamos
\dot x(t) = C_2\,e^{rt} + (C_1 + C_2 t)\,r\,e^{rt} = \bigl(C_2 + C_1\,r + C_2\,r\,t\bigr)e^{rt},
de onde
\dot x(0)=C_2 = v_{0}.

Passo 5

Substituindo C_1=0 e C_2=v_{0} na solução geral:
x(t) = v_{0}\,t\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}.
Como em regime crítico \tfrac{b}{2m}=\sqrt{\tfrac{k}{m}}, também podemos escrever
x(t)=v_{0}\,t\,e^{-\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t}.

Resposta

x(t) = v_{0}\,t\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}.

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