Em um sistema oscilatório com uma força de atrito viscoso temos:
F_{m o l a}+F_{a t r i t o}=-k x-b \frac{d x}{d t}
onde k é a constante da mola e b é a constante de amortecimento. Logo, a equação de movimento fica:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=0
Considere o oscilador como estando nos seguintes regimes e resolva a equação diferencial para as condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=v_{0}.
Regime subcrítico

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+k\,x=0
no regime subcrítico (isto é, b^{2}<4mk), com as condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=v_{0}. O método é escrever a equação característica, achar raízes complexas e montar a solução geral do tipo amortecido oscilatório.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
m\,r^{2}+b\,r+k=0
As raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}.
No regime subcrítico temos b^{2}-4mk<0. Definimos
\alpha=\frac{b}{2m},\quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^{2}},
de modo que
r=-\alpha\pm i\,\omega_{d}.

Passo 3

Para raízes r=-\alpha\pm i\omega_{d} a solução geral é
x(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr).

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
  1. x(0)=0
x(0)=A=0.
  1. Calculamos \dot x(t):
\dot x(t)=-\alpha e^{-\alpha t}(A\cos\omega_{d}t+B\sin\omega_{d}t) +e^{-\alpha t}\bigl(-A\omega_{d}\sin\omega_{d}t+B\omega_{d}\cos\omega_{d}t\bigr).
Em t=0 e com A=0:
\dot x(0)=B\,\omega_{d}=v_{0} \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{v_{0}}{\omega_{d}}.

Passo 5

Substituindo A=0 e B=v_{0}/\omega_{d} na solução geral, obtemos
x(t)=\frac{v_{0}}{\omega_{d}}\,e^{-\frac{b}{2m}t}\,\sin\bigl(\omega_{d}t\bigr),
com \omega_{d}=\sqrt{\frac{k}{m}-\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}.

Resposta

x(t)=\frac{v_{0}}{\sqrt{\frac{k}{m}-\bigl(\frac{b}{2m}\bigr)^{2}}}\, e^{-\frac{b}{2m}t}\,\sin\!\Bigl(t\sqrt{\tfrac{k}{m}-\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}\Bigr).

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