Em um sistema oscilatório com uma força de atrito viscoso temos:
F_{m o l a}+F_{a t r i t o}=-k x-b \frac{d x}{d t}
onde k é a constante da mola e b é a constante de amortecimento. Logo, a equação de movimento fica:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=0
Considere o oscilador como estando nos seguintes regimes e resolva a equação diferencial para as condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=v_{0}.
Regime supercrítico

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\,\frac{dx}{dt} + k\,x = 0
no regime supercrítico, isto é, quando b^{2} > 4mk. O método é resolver a equação característica, obter as raízes reais distintas, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=v_{0}.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
m\,r^{2} + b\,r + k = 0.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4\,m\,k > 0.

Passo 3

As raízes reais distintas são
r_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4mk}}{2m}, \quad r_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^{2} - 4mk}}{2m}.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é
x(t) = A\,e^{r_{1}t} + B\,e^{r_{2}t}.

Passo 5

Usando x(0)=0 obtemos
A + B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -A.

Passo 6

Calculamos a derivada
\dot x(t) = A\,r_{1}\,e^{r_{1}t} + B\,r_{2}\,e^{r_{2}t},
e aplicamos \dot x(0)=v_{0}:
A\,r_{1} + B\,r_{2} = v_{0} \quad\Longrightarrow\quad A\,(r_{1}-r_{2}) = v_{0}.
Como r_{1}-r_{2} = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4mk}}{m}, segue
A = \frac{v_{0}}{(r_{1}-r_{2})} = \frac{m\,v_{0}}{\sqrt{b^{2}-4mk}}, \quad B = -\frac{m\,v_{0}}{\sqrt{b^{2}-4mk}}.

Passo 7

Substituindo A e B na solução geral, chega-mos a
x(t) = \frac{m\,v_{0}}{\sqrt{b^{2}-4mk}}\, \bigl(e^{r_{1}t} - e^{r_{2}t}\bigr),
com
r_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}, \quad r_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}.

Resposta

x(t) = \frac{m\,v_{0}}{\sqrt{b^{2}-4mk}}\, \bigl(e^{\,\tfrac{-b + \sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}\,t} - e^{\,\tfrac{-b - \sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}\,t}\bigr).

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