Um sistema possui a seguinte função de transferência:
Para entrada degrau unitário:
a) Determine a resposta temporal completa do sistema;
b) Determine o valor final da saída;
c) Determine o tempo de subida aproximado;
d) Determine o tempo de estabilização aproximado;
e) Esboce qualitativamente o gráfico da resposta temporal.
a) Determine a resposta temporal completa do sistema;
b) Determine o valor final da saída;
c) Determine o tempo de subida aproximado;
d) Determine o tempo de estabilização aproximado;
e) Esboce qualitativamente o gráfico da resposta temporal.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede a resposta a um degrau unitário (entrada
para
). As perguntas são:
(a) determinar a resposta temporal completa para
;
(b) determinar o valor final da saída ;
(c) determinar o tempo de subida aproximado;
(d) determinar o tempo de estabilização aproximado;
(e) esboçar qualitativamente o gráfico da resposta temporal.
(a) determinar a resposta temporal completa
(b) determinar o valor final da saída
(c) determinar o tempo de subida aproximado;
(d) determinar o tempo de estabilização aproximado;
(e) esboçar qualitativamente o gráfico da resposta temporal.
Informações relevantes dadas:
- Transferência é de primeira ordem, denominador na forma
. - Entrada é degrau unitário, cujo transformado de Laplace é
.
Passo 2
Montar a saída no domínio de Laplace:
.
Vamos decompor em frações parciais para inverter a Laplace. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Agrupando termos em
:
Comparando coeficientes: constante
. Coeficiente de
dá
, então
Portanto a decomposição é
Passo 3
Inversão da Laplace termo a termo, usando que
Assim,
Escrevendo de forma usual:
Passo 4
Valor final pela expressão encontrada: como
quando
,
Verificação via Teorema do Valor Final (opcional):
Passo 5
Identificar a constante de tempo e seu significado. A função de transferência escrita como
tem
como constante de tempo; comparar com
dá
e ganho DC
. Significado: a componente exponencial é
; após um tempo
a resposta atinge cerca de
do valor final.
Cálculo:
(ou seja
de
).
Passo 6
Tempo de subida (definição usada: tempo para ir de
a
do valor final).
Para com
:
Para
- nível
: . - nível
: .
Portanto o tempo de subida é
Substituindo
:
Passo 7
Tempo de estabilização (critério típico): tempo para permanecer dentro de uma banda percentual
do valor final. Para sistema de primeira ordem,
Daí
Cálculos comuns:
- Critério
( ): . (aproximação usual: dá , próximo do valor exato) - Critério
( ): .
Normalmente o critério de
é considerado mais rigoroso; portanto o tempo de estabilização aproximado é
(2%).
Passo 8
Esboço qualitativo da resposta temporal (descrição para desenhar mentalmente ou no rascunho):
- Para
: . - Crescimento exponencial rumo a
, sem oscilações (sistema superamortecido/primeira ordem, resposta monotônica). - Pontos úteis:
-
(uma constante de tempo): . -
: (90%). -
: (95%). -
: (98%).
-
- A curva é uma subida suave em forma de exponencial assintótica, aproximando-se de
quando .
Resposta
(a)
(b)
(c) Tempo de subida (10%–90%):
(d) Tempo de estabilização (critério 2%): (para 5%:
).
(e) Resposta qualitativa: começa em , sobe monotonicamente com decaimento exponencial
e aproxima-se assintoticamente de
(ver descrição dos pontos em Passo 8).
(b)
(c) Tempo de subida (10%–90%):
(d) Tempo de estabilização (critério 2%):
(e) Resposta qualitativa: começa em