Um sistema possui a seguinte função de transferência:
G(s)=\frac{10}{2 s+1}
Para entrada degrau unitário:
a) Determine a resposta temporal completa do sistema;
b) Determine o valor final da saída;
c) Determine o tempo de subida aproximado;
d) Determine o tempo de estabilização aproximado;
e) Esboce qualitativamente o gráfico da resposta temporal.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{10}{2s+1}
e pede a resposta a um degrau unitário (entrada r(t)=1 para t\ge0). As perguntas são:
(a) determinar a resposta temporal completa y(t) para t\ge0;
(b) determinar o valor final da saída \lim_{t\to\infty}y(t);
(c) determinar o tempo de subida aproximado;
(d) determinar o tempo de estabilização aproximado;
(e) esboçar qualitativamente o gráfico da resposta temporal.
Informações relevantes dadas:
  • Transferência é de primeira ordem, denominador na forma 2s+1.
  • Entrada é degrau unitário, cujo transformado de Laplace é R(s)=\dfrac{1}{s}.

Passo 2

Montar a saída no domínio de Laplace: Y(s)=G(s)R(s).
Y(s)=\frac{10}{2s+1}\cdot\frac{1}{s}=\frac{10}{s(2s+1)}.
Vamos decompor em frações parciais para inverter a Laplace. Procuro constantes A e B tais que
\frac{10}{s(2s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{2s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(2s+1) obtém-se
10 = A(2s+1)+Bs.
Agrupando termos em s:
10 = s(2A+B) + A.
Comparando coeficientes: constante A=10. Coeficiente de s 2A+B=0, então
B = -2A = -20.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{10}{s}-\frac{20}{2s+1}.

Passo 3

Inversão da Laplace termo a termo, usando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{2s+1}\right\}=\frac{1}{2}e^{-t/2}.
Assim,
y(t)=10\cdot 1 -20\cdot\frac{1}{2}e^{-t/2}=10-10e^{-t/2}.
Escrevendo de forma usual:
\boxed{y(t)=10\bigl(1-e^{-t/2}\bigr),\quad t\ge0.}

Passo 4

Valor final pela expressão encontrada: como e^{-t/2}\to0 quando t\to\infty,
\lim_{t\to\infty}y(t)=10.
Verificação via Teorema do Valor Final (opcional):
\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s)=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{10}{s(2s+1)}=\frac{10}{1}=10.

Passo 5

Identificar a constante de tempo e seu significado. A função de transferência escrita como \dfrac{K}{\tau s+1} tem \tau como constante de tempo; comparar com 2s+1 \tau=2 e ganho DC K=10. Significado: a componente exponencial é e^{-t/\tau}=e^{-t/2}; após um tempo \tau a resposta atinge cerca de 63{,}2\% do valor final.
Cálculo: y(\tau)=10(1-e^{-1})\approx10(1-0,3679)=6{,}321 (ou seja 63{,}2\% de 10).

Passo 6

Tempo de subida (definição usada: tempo para ir de 10\% a 90\% do valor final).
Para y(t)=K(1-e^{-t/\tau}) com K=10:
  • nível 10\%: y(t_{10})=0{,}1K \Rightarrow e^{-t_{10}/\tau}=0{,}9 \Rightarrow t_{10}=-\tau\ln(0{,}9).
  • nível 90\%: y(t_{90})=0{,}9K \Rightarrow e^{-t_{90}/\tau}=0{,}1 \Rightarrow t_{90}=-\tau\ln(0{,}1).
Portanto o tempo de subida é
t_r=t_{90}-t_{10}=\tau\ln\!\left(\frac{0{,}9}{0{,}1}\right)=\tau\ln 9.
Substituindo \tau=2:
t_r=2\ln 9\approx 2\cdot 2{,}1972246\approx 4{,}3944\\ \text{s}.

Passo 7

Tempo de estabilização (critério típico): tempo para permanecer dentro de uma banda percentual \varepsilon do valor final. Para sistema de primeira ordem,
|y(t)-K|=K e^{-t/\tau}\le \varepsilon K \quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}\le\varepsilon.
Daí
t\ge -\tau\ln\varepsilon.
Cálculos comuns:
  • Critério 2\% ( \varepsilon=0{,}02): t_s\approx -2\ln 0{,}02 \approx 2\cdot 3{,}912023\approx 7{,}8240\\ \text{s}. (aproximação usual: t_s\approx 4\tau 8\\ \text{s}, próximo do valor exato)
  • Critério 5\% ( \varepsilon=0{,}05): t_s\approx -2\ln 0{,}05\approx 5{,}9915\\ \text{s}.
Normalmente o critério de 2\% é considerado mais rigoroso; portanto o tempo de estabilização aproximado é t_s\approx 7{,}82\\ \text{s} (2%).

Passo 8

Esboço qualitativo da resposta temporal (descrição para desenhar mentalmente ou no rascunho):
  • Para t=0: y(0)=0.
  • Crescimento exponencial rumo a 10, sem oscilações (sistema superamortecido/primeira ordem, resposta monotônica).
  • Pontos úteis:
    • t=2 (uma constante de tempo): y(2)=10(1-e^{-1})\approx 6{,}32.
    • t\approx 4{,}394: y\approx 9{,}0 (90%).
    • t\approx 5{,}991: y\approx 9{,}5 (95%).
    • t\approx 7{,}82: y\approx 9{,}8 (98%).
  • A curva é uma subida suave em forma de exponencial assintótica, aproximando-se de y=10 quando t\to\infty.

Resposta

(a) y(t)=10\bigl(1-e^{-t/2}\bigr),\\ t\ge0.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=10.
(c) Tempo de subida (10%–90%): t_r=\;2\ln 9\approx 4{,}39\\ \text{s}.
(d) Tempo de estabilização (critério 2%): t_s\approx -2\ln 0{,}02\approx 7{,}82\\ \text{s} (para 5%: \approx 5{,}99\\ \text{s}).
(e) Resposta qualitativa: começa em 0, sobe monotonicamente com decaimento exponencial e^{-t/2} e aproxima-se assintoticamente de 10 (ver descrição dos pontos em Passo 8).

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