Considere um tanque simples com:
- área transversal
,
- resistência hidráulica
,
- vazão de entrada
,
- nível do líquido
.
A partir do balanço de massa, deduza a função de transferência do sistema.
O desenvolvimento deve incluir:
a) Equação diferencial;
b) Aplicação da Transformada de Laplace;
c) Função de transferência final.
a) Equação diferencial;
b) Aplicação da Transformada de Laplace;
c) Função de transferência final.
Passo 1
O enunciado fornece claramente:
- Área transversal do tanque:
. - Resistência hidráulica da saída:
. - Vazão de entrada (sinal de entrada):
. - Nível do líquido (sinal de saída):
.
O que é pedido:
a) escrever a equação diferencial que descreve o sistema (a partir do balanço de massa);
b) aplicar a Transformada de Laplace nessa equação;
c) obter a função de transferência do sistema .
a) escrever a equação diferencial que descreve o sistema (a partir do balanço de massa);
b) aplicar a Transformada de Laplace nessa equação;
c) obter a função de transferência do sistema
Passo 2
Balanço de massa (explicação didática): a variação do volume dentro do tanque é igual à vazão que entra menos a vazão que sai. O volume
do líquido no tanque é a área vezes a altura:
A taxa de variação do volume é
O balanço de massa então diz
onde
é a vazão de saída.
Passo 3
Modelo da vazão de saída (explicação didática): assumimos que a saída se comporta como uma resistência hidráulica linear, isto é, a vazão de saída é proporcional à altura:
Isto é análogo à Lei de Ohm (queda de pressão proporcional à corrente) e é uma hipótese comum para escoamento laminar por uma resistência linearizada.
Substituindo em o balanço:
Reorganizando para a forma padrão:
Aqui cada termo tem sentido físico:
é a taxa de acúmulo de volume;
é a vazão de saída;
é a entrada.
Passo 4
Forma canônica e parâmetros importantes (didática): dividir tudo por
para colocar no formato usual de primeiro-ordem:
Define-se a constante de tempo
pois o coeficiente do termo
é
. A resposta em regime permanente para uma entrada constante
constante é encontrada fazendo
, então
ou seja, o ganho DC (estático) do sistema é
.
Passo 5
Transformada de Laplace (revisão rápida e aplicação): lembrando a propriedade da transformada da derivada,
onde
e
é a condição inicial. Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial
obtemos (fazendo a transformada termo a termo)
onde
.
Passo 6
Obter a função de transferência (passos algébricos e interpretação): recolhendo
na equação da transformada,
Para obter a função de transferência consideramos condições iniciais nulas (
); esta é a definição padrão de função de transferência: razão entre saída e entrada no domínio
com condições iniciais zero. Com
temos
Logo
Manipulando para formas usuais, podemos escrever
onde
e
é o ganho em regime permanente.
Passo 7
Resumo final e interpretação curta: a dinâmica é de primeira ordem com constante de tempo
e ganho DC
. A função de transferência acima permite calcular respostas a passos, senóides, etc., usando tabelas padrão de transformadas ou inversa de Laplace.
Resposta
(a)
(b)
(c)