Considere um tanque simples com:
  • área transversal A,
  • resistência hidráulica R,
  • vazão de entrada q_{i}(t),
  • nível do líquido h(t).
A partir do balanço de massa, deduza a função de transferência do sistema.
O desenvolvimento deve incluir:
a) Equação diferencial;
b) Aplicação da Transformada de Laplace;
c) Função de transferência final.

Passo 1

O enunciado fornece claramente:
  • Área transversal do tanque: A.
  • Resistência hidráulica da saída: R.
  • Vazão de entrada (sinal de entrada): q_{i}(t).
  • Nível do líquido (sinal de saída): h(t).
O que é pedido:
a) escrever a equação diferencial que descreve o sistema (a partir do balanço de massa);
b) aplicar a Transformada de Laplace nessa equação;
c) obter a função de transferência do sistema \dfrac{H(s)}{Q_i(s)}.

Passo 2

Balanço de massa (explicação didática): a variação do volume dentro do tanque é igual à vazão que entra menos a vazão que sai. O volume V(t) do líquido no tanque é a área vezes a altura:
V(t)=A\,h(t).
A taxa de variação do volume é
\frac{dV(t)}{dt}=A\frac{dh(t)}{dt}.
O balanço de massa então diz
A\frac{dh(t)}{dt}=q_{i}(t)-q_{o}(t),
onde q_{o}(t) é a vazão de saída.

Passo 3

Modelo da vazão de saída (explicação didática): assumimos que a saída se comporta como uma resistência hidráulica linear, isto é, a vazão de saída é proporcional à altura:
q_{o}(t)=\frac{h(t)}{R}.
Isto é análogo à Lei de Ohm (queda de pressão proporcional à corrente) e é uma hipótese comum para escoamento laminar por uma resistência linearizada.
Substituindo em o balanço:
A\frac{dh(t)}{dt}=q_{i}(t)-\frac{h(t)}{R}.
Reorganizando para a forma padrão:
A\frac{dh(t)}{dt}+\frac{1}{R}\,h(t)=q_{i}(t).
Aqui cada termo tem sentido físico: A\frac{dh}{dt} é a taxa de acúmulo de volume; \dfrac{1}{R}h é a vazão de saída; q_i é a entrada.

Passo 4

Forma canônica e parâmetros importantes (didática): dividir tudo por A para colocar no formato usual de primeiro-ordem:
\frac{dh(t)}{dt}+\frac{1}{AR}\,h(t)=\frac{1}{A}\,q_{i}(t).
Define-se a constante de tempo
\tau = A R,
pois o coeficiente do termo \,h(t)\, é \dfrac{1}{\tau}. A resposta em regime permanente para uma entrada constante q_i= constante é encontrada fazendo \dfrac{dh}{dt}=0, então
h_{\mathrm{ss}}=R\,q_{i,\mathrm{ss}},
ou seja, o ganho DC (estático) do sistema é R.

Passo 5

Transformada de Laplace (revisão rápida e aplicação): lembrando a propriedade da transformada da derivada,
\mathcal{L}\left\{\frac{dh(t)}{dt}\right\}=sH(s)-h(0),
onde H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} e h(0) é a condição inicial. Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial
A\frac{dh(t)}{dt}+\frac{1}{R}h(t)=q_{i}(t)
obtemos (fazendo a transformada termo a termo)
A\big(sH(s)-h(0)\big)+\frac{1}{R}H(s)=Q_i(s),
onde Q_i(s)=\mathcal{L}\{q_i(t)\}.

Passo 6

Obter a função de transferência (passos algébricos e interpretação): recolhendo H(s) na equação da transformada,
\big(As+\tfrac{1}{R}\big)H(s)-A\,h(0)=Q_i(s).
Para obter a função de transferência consideramos condições iniciais nulas ( h(0)=0); esta é a definição padrão de função de transferência: razão entre saída e entrada no domínio s com condições iniciais zero. Com h(0)=0 temos
H(s)\big(As+\tfrac{1}{R}\big)=Q_i(s).
Logo
\frac{H(s)}{Q_i(s)}=\frac{1}{As+\tfrac{1}{R}}.
Manipulando para formas usuais, podemos escrever
\frac{H(s)}{Q_i(s)}=\frac{\tfrac{1}{A}}{s+\tfrac{1}{AR}}=\frac{R}{ARs+1}=\frac{R}{\tau s+1},
onde \tau=AR e R é o ganho em regime permanente.

Passo 7

Resumo final e interpretação curta: a dinâmica é de primeira ordem com constante de tempo \tau=AR e ganho DC R. A função de transferência acima permite calcular respostas a passos, senóides, etc., usando tabelas padrão de transformadas ou inversa de Laplace.

Resposta

(a) A\frac{dh(t)}{dt}+\frac{1}{R}\,h(t)=q_{i}(t)
(b) A\big(sH(s)-h(0)\big)+\frac{1}{R}H(s)=Q_i(s)
(c) \frac{H(s)}{Q_i(s)}=\frac{\tfrac{1}{A}}{s+\tfrac{1}{AR}}=\frac{R}{AR\,s+1}=\frac{R}{\tau s+1},\quad \tau=AR

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