b) A função de transferência;
c) A resposta temporal para entrada degrau unitário;
d) O valor do nível do tanque em regime permanente.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente os seguintes dados:
Área do tanque (ou da superfície do nível): A=2\\ \mathrm{m}^{2}.
Resistência hidráulica (modelo linear de escoamento): R=5\\ \dfrac{\mathrm{min}}{\mathrm{m}^{2}}.
O que se pede:
a) a constante de tempo do sistema, \tau, sabendo que \tau = A R;\n
b) a função de transferência entre entrada de vazão q_{\mathrm{in}}(t) (unidade: \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}) e nível h(t) (unidade: \mathrm{m});\n
c) a resposta temporal h(t) para uma entrada degrau unitário de vazão (ou seja, q_{\mathrm{in}}(t)=1\mathrm{m^{3}/min} para t\ge0), assumindo nível inicial nulo;\n
d) o valor do nível em regime permanente (tensão final quando t\to\infty).
Passo 2
Montagem do modelo dinâmico (explicação física e unidades).
Conservação de massa para o volume do fluido no tanque dá a equação diferencial
No modelo linear assumimos que a vazão de saída é proporcional ao nível:
q_{\mathrm{out}}(t)=\frac{h(t)}{R}.
Verificação rápida de unidades: \dfrac{h}{R} tem unidades \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}/\mathrm{m}^{2}}=\mathrm{m^{3}/min}, ou seja, é uma vazão — coerente.
Substituindo, obtemos a equação diferencial que governará o sistema:
Interpretação rápida: \tau é o tempo típico que o nível leva para atingir cerca de 63{,}2\% da variação entre valor inicial e novo valor de regime permanente após uma perturbação.
Passo 4
Derivação da função de transferência (aula rápida sobre o que é).
Função de transferência é a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada assumindo condições iniciais nulas. Aplicando Laplace à equação diferencial com h(0^-)=0:
Portanto a função de transferência G(s)=\dfrac{H(s)}{Q_{\mathrm{in}}(s)} é
G(s)=\frac{1}{A s+\tfrac{1}{R}}.
É comum reescrever em termos de \tau e do ganho em regime permanente K. Note que A s+\tfrac{1}{R}=\tfrac{1}{R}(\tau s+1). Logo
G(s)=\frac{R}{\tau s+1}.
Substituindo \tau=10 e R=5 obtemos a forma numérica
G(s)=\frac{5}{10s+1}.
Breve comentário didático: G(0)=\lim_{s\to0}G(s)=R é o ganho DC (ou ganho em regime permanente) que relaciona uma vazão constante entrada ao nível final.
Passo 5
Resposta temporal ao degrau unitário (passo-a-passo da inversão de Laplace).
Entrada degrau unitário em vazão tem transformada Q_{\mathrm{in}}(s)=\dfrac{1}{s}\).
- Então
\[H(s)=G(s)\,Q_{\mathrm{in}}(s)=\frac{R}{\tau s+1}\cdot\frac{1}{s}=\frac{R}{s(\tau s+1)}.
Fazemos decomposição em frações parciais (escrevendo constantes A e B):
Comentário prático: em t=0 temos h(0)=0 (começa em zero), e a inclinação inicial \dfrac{d h}{d t}\big|_{t=0}=\dfrac{q_{\mathrm{in}}(0)}{A}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m/min}, o que faz sentido físico (o nível começa subindo com essa taxa).]
Passo 6
Valor em regime permanente (duas maneiras rápidas).