Um sistema quântico se encontra no estado geral \psi(x, t) que está expandido em termos das autofunções \phi_{E}(x), conforme expressão abaixo.
|\psi\rangle=\frac{\sqrt{2}}{3} \phi_{1}+\frac{\sqrt{3}}{3} \phi_{4}+\frac{2}{3} \phi_{3}
As autofunções \left\{\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}\right\} formam uma base ortonormal (perpendicular e normalizada). Os \varphi^{\prime} s são autoestados do operador hamiltoniano tal que:
H \phi_{1}=E \phi_{1}, \quad H \phi_{2}=2 E \phi_{2}, \quad H \phi_{3}=3 E \phi_{3}
a) Verifique se o estado geral |\psi\rangle está normalizado.
b) Se a energia é medida, qual é a probabilidade de se obter os resultados E, 2 E e 3 E ?

Passo 1

O enunciado dá o estado
|\psi\rangle = \frac{\sqrt{2}}{3}\,\phi_{1} \;+\;\frac{\sqrt{3}}{3}\,\phi_{2}\;+\;\frac{2}{3}\,\phi_{3}
numa base ortonormal \{\phi_1,\phi_2,\phi_3\} que são autoestados do Hamiltoniano com energias E, 2E e 3E. Vamos verificar se |\psi\rangle está normalizado e, em seguida, usar o postulado de Born para encontrar as probabilidades de medir cada energia.

Passo 2

Para checar a normalização calculamos
\langle\psi|\psi\rangle =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{3}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{3}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^2 =\frac{2}{9}+\frac{3}{9}+\frac{4}{9} =\;1.
Como \langle\psi|\psi\rangle=1, o estado está normalizado.

Passo 3

Pelo postulado de Born, a probabilidade de medir a energia E_n associada a \phi_n é |\langle\phi_n|\psi\rangle|^2. Logo:
P(E)=\bigl|\langle\phi_1|\psi\rangle\bigr|^2 =\frac{2}{9}, \quad P(2E)=\bigl|\langle\phi_2|\psi\rangle\bigr|^2 =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}, \quad P(3E)=\bigl|\langle\phi_3|\psi\rangle\bigr|^2 =\frac{4}{9}.

Resposta

(a) |\psi\rangle está normalizado, pois \langle\psi|\psi\rangle=1.
(b) P(E)=2/9, P(2E)=1/3, P(3E)=4/9.

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