O que é um valor esperado? Se você fizer a medida de uma grandeza e o resultado não for igual ao que você esperava, isto significa que sua medida está errada? Qual a analogia do valor esperado que você acabou de descrever e o análogo clássico? Comente.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o valor esperado de uma variável aleatória, se uma única medição diferente do valor esperado indica erro e qual é o análogo clássico dessa ideia.

Passo 2

O valor esperado de uma variável aleatória X é o seu “médio ponderado” pelas probabilidades. Em caso discreto,
\mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i \, p_i,
onde x_i são os possíveis resultados e p_i = P(X=x_i). Em caso contínuo,
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f_X(x)\,dx,
onde f_X é a densidade de probabilidade de X.

Passo 3

Uma única medição de X pode diferir de \mathbb{E}[X] sem que necessariamente haja erro no experimento. O valor esperado é um resultado médio de muitas repetições. Em estatística, cada medição é uma amostra e pode oscilar em torno de \mathbb{E}[X] por causa da variabilidade inerente.

Passo 4

O análogo clássico do valor esperado é o valor médio de uma distribuição de massa ou carga. Por exemplo, o centro de massa de uma barra com densidade \rho(x) em [a,b] é
\bar{x} = \frac{\displaystyle\int_{a}^{b} x\,\rho(x)\,dx}{\displaystyle\int_{a}^{b} \rho(x)\,dx},
que tem a mesma forma matemática de \mathbb{E}[X], visto que \rho(x) corresponde a uma “densidade de probabilidade” no caso clássico.

Resposta

  • O valor esperado \mathbb{E}[X] é a média ponderada dos resultados possíveis de X.
  • Uma medida única diferente de \mathbb{E}[X] não prova erro: ela é apenas uma amostra que pode variar.
  • Clássico: o valor médio (por exemplo, centro de massa) tem a mesma estrutura de cálculo que o valor esperado probabilístico.

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