O sistema regido pela expressão
y(t)=d^2(x(t)+t)d t^2:
É linear ou não? Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema descrito por
y(t);=;d^2dt^2l(x(t)+tr)
A questão é: “Esse sistema é linear ou não?”
Matéria envolvida: teoria de sistemas lineares (propriedade de superposição) e derivadas de funções.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um sistema linear (homogeneidade e aditividade).
  • Saber calcular segunda derivada de x(t)+t.

Passo 2

Primeiro, o que é um sistema linear?
Um sistema Tcdot é linear se, para quaisquer sinais x1(t), x2(t) e escalares a,b, vale sempre:
  1. Aditividade:
Tx1(t)+x2(t) ;=; Tx1(t) + Tx2(t)
  1. Homogeneidade (ou escala):
Ta,x(t) ;=; a,Tx(t)
Em conjunto, chamamos isso de princípio da superposição:
Ta,x1(t)+b,x2(t) = a,Tx1(t) + b,Tx2(t)

Passo 3

Vamos primeiro simplificar a expressão do sistema, calculando a derivada de x(t)+t:
  1. Derivada de x(t) duas vezes é x''(t).
  2. Derivada de t em relação a t é 1, e a segunda derivada de t é 0.
    Logo
d^2dt^2l(x(t)+tr) =;x''(t);+;underbraced^2dt^2t0 =;x''(t)
Ou seja, o sistema é na prática
Tx(t) = x''(t)

Passo 4

Agora aplicamos o teste de superposição:
Se o input fosse a,x1(t) + b,x2(t), então
Ta,x1(t)+b,x2(t) =d^2dt^2l(a,x1(t)+b,x2(t)r) =a,x1''(t) ;+; b,x2''(t) =a,Tx1(t)+b,Tx2(t)
Perfeito, ele satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade.

Resposta

Sim, o sistema é linear, pois equivale ao operador “segunda derivada”, que obedece ao princípio da superposição.

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