No sistema a seguir, A tem massa mA=20 kg e B tem massa mB=10 kg.
Observações: g=10 m / s^2; o peso da corda, o atrito no eixo da roldana e a massa da roldana são despreziveis. Adote: cos alpha=0,6 e sin alpha=0,8.
Determine a aceleração do conjunto, quando:
não há atrito.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de dinâmica! Temos dois corpos, A e B, com massas de 20 kg e 10 kg respectivamente. O corpo A está provavelmente em uma rampa inclinada com ângulo α, e o corpo B está pendurado. Precisamos encontrar a aceleração do sistema quando não há atrito. Para isso, vamos usar as Leis de Newton e analisar as forças agindo em cada corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada corpo:
  • Corpo A (20 kg):
    • Peso: $ P_A = m_A \cdot g = 20 , kg \times 10 , m/s^2 = 200 , N $
    • Componente do peso na direção da rampa: $ P_{A\parallel} = P_A \cdot \sin \alpha = 200 , N \times 0,8 = 160 , N $
    • Tensão da corda: $ T $
  • Corpo B (10 kg):
    • Peso: $ P_B = m_B \cdot g = 10 , kg \times 10 , m/s^2 = 100 , N $
    • Tensão da corda: $ T $

Passo 3

Aplicamos a Segunda Lei de Newton para cada corpo.
  • Para o Corpo A:
    A força resultante na direção da rampa é a tensão menos a componente do peso:
    PAparal<=l - T = mA cdot a
    Substituindo os valores:
    160 , N - T = 20 , kg times a Rightarrow 160 - T = 20a (1)
  • Para o Corpo B:
    A força resultante na direção vertical é o peso menos a tensão:
    PB - T = mB cdot a
    Substituindo os valores:
    100 , N - T = 10 , kg times a Rightarrow 100 - T = 10a (2)

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
160 - T = 20a (1) 100 - T = 10a (2)
Podemos resolver esse sistema para encontrar o valor de $ a $.
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
a
Atenção: Aqui percebemos um erro na resolução anterior. Na verdade, ao subtrair as equações, a tensão $ T $ se cancela:
(160 - T) - (100 - T) = 20a - 10a 160 - 100 = 10a 60 = 10a a = 6010 a = 6 , m/s^2
Porém, vamos verificar novamente com as equações originais.

Passo 5

Na verdade, vamos resolver de outra forma para confirmar:
A partir da equação (2):
T = 100 - 10a
Substituindo na equação (1):
160 - (100 - 10a) = 20a 160 - 100 + 10a = 20a 60 + 10a = 20a 60 = 10a a = 6 , m/s^2
Parece que houve uma inconsistência na interpretação inicial das forças. Voltemos à análise.

Passo 6

Vamos reconsiderar as direções das forças. Se assumirmos que o corpo A está descendo a rampa e o corpo B está subindo, a equação para o corpo A ficaria:
T - PAparal<=l = mA cdot a
E para o corpo B:
PB - T = mB cdot a
Assim, refazemos as equações:
Para o corpo A:
T - 160 = 20a (1')
Para o corpo B:
100 - T = 10a (2')
Somando as equações (1’) e (2’):
(T - 160) + (100 - T) = 20a + 10a -60 = 30a a = -6030 a = -2 , m/s^2

Resposta

A aceleração do conjunto é de $ 2 , m/s^2 $ na direção que faz o corpo A descer a rampa e o corpo B subir.

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