No sistema a seguir a tensão no barramento 1 é mantida fixa em 69 kV . As cargas A e B são do tipo impedância constante e potência constante, respectivamente. Adote a potência base igual a 50 MVA. Calcule a tensão no barramento B2 em pu e em kV para as condições de carga fornecidas. Os dados deste sistema são:
Linha (LT):
  • Tensão nominal: 69 kV
    -\mathrm{R}=0
    -\mathrm{X}=10 \Omega
Carga A:
  • 40 MVA, \cos \Phi=1,0 \mathrm{em} 69 \mathrm{kV}
Carga B:
  • 50 \mathrm{MVA}, \cos \Phi_{\text {ind }}=0,8 \mathrm{em} 69 \mathrm{kV}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de dois barramentos: o barramento 1 é barra de referência com tensão fixa de 69 kV (1,0 pu) e o barramento 2 alimenta duas cargas em paralelo via uma linha com R=0 e X=10\\ \Omega. A carga A é de impedância constante, 40\\ \mathrm{MVA}, fator de potência unitário; a carga B é de potência constante, 50\\ \mathrm{MVA}, \cos\varphi=0,8 indutivo. O problema é um fluxo de carga simplificado em 2 barras e vamos precisar:
  1. Escolher base de potência S_{\text{base}}=50\\ \mathrm{MVA} e base de tensão V_{\text{base}}=69\\ \mathrm{kV}.
  2. Converter os dados para pu.
  3. Escrever as equações de equilíbio de potência ativa e reativa no barramento 2, incluindo o comportamento de carga A (constante Z) e de carga B (constante S).
  4. Eliminar o ângulo de fase e resolver para a magnitude da tensão V_2.

Passo 2

Calculemos as grandezas em pu:
– Base de impedância:
Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{(69\\ \mathrm{kV})^2}{50\\ \mathrm{MVA}} \approx95{,}22\\ \Omega.
– Impedância da linha em pu:
X_{\text{linha,pu}} =\frac{10\\ \Omega}{95{,}22\\ \Omega} \approx0{,}10505\\ \text{pu}.
– Carga A: potência nominal S_A=40\\ \mathrm{MVA}, pf =1\Rightarrow S_{A,\text{pu}}=40/50=0{,}8 pu (constante Z).
– Carga B: potência nominal S_B=50\\ \mathrm{MVA}, pf =0,8 indutiva ⇒
P_{B,\text{pu}}=\frac{50}{50}=1{,}0,\quad Q_{B,\text{pu}}=P_{B,\text{pu}}\tan\varphi =1{,}0\cdot\tan\bigl(\cos^{-1}0{,}8\bigr) =1{,}0\cdot0{,}75=0{,}75\\ \text{pu}.

Passo 3

Expressamos a potência total de carga no barramento 2 em função de V_2 (magnitudes em pu):
  • Para carga A (constante Z), S_A(V_2)=0{,}8\,V_2^2 (toda em potência ativa).
  • Para carga B (constante S), S_B=1{,}0+j\,0{,}75 independente de V_2.
    Logo
S_{\text{load}}(V_2) =0{,}8\,V_2^2 + (1{,}0 + j\,0{,}75).

Passo 4

A corrente que flui da barra 1 (tensão V_1=1\angle0) para a barra 2 é
I=\frac{V_1 - V_2\angle\theta}{j\,X_{\text{linha,pu}}},
e a potência injetada na barra 2 é
S_{\text{line}} =V_2\angle\theta\;\overline{I} =j\,\frac{V_2\angle\theta\,(1\angle0 - V_2\angle{-\theta})}{X_{\text{linha,pu}}}.
Dessa expressão extraímos as componentes ativa e reativa:
P_{\text{line}} =-\frac{V_2}{X_{\text{linha,pu}}}\sin\theta, \quad Q_{\text{line}} =\frac{V_2}{X_{\text{linha,pu}}}\cos\theta -\frac{V_2^2}{X_{\text{linha,pu}}}.
As condições de equilíbrio são
P_{\text{line}} = P_{\text{load}} = 0{,}8\,V_2^2 + 1{,}0, \quad Q_{\text{line}} = Q_{\text{load}} = 0{,}75.

Passo 5

Das duas equações de P e Q isolamos
\sin\theta =-\frac{X_{\text{linha,pu}}}{V_2}\bigl(0{,}8\,V_2^2+1\bigr), \quad \cos\theta =\frac{V_2^2 + 0{,}0787875}{V_2},
onde 0{,}0787875=0{,}75\,X_{\text{linha,pu}}. Usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 e definindo a=V_2^2, chega-se à equação quadrática
a^2 -0{,}8189063\,a +0{,}0171245 =0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática obtém-se
a_1\approx0{,}79742,\quad a_2\approx0{,}02148.
O valor fisicamente aceitável é a=0{,}79742, então
V_2 = \sqrt{a} \approx \sqrt{0{,}79742} = 0{,}8930\\ \text{pu}.
Convertendo para kV:
V_{2,\text{kV}} = 0{,}8930 \times 69\\ \text{kV} \approx61{,}6\\ \text{kV}.

Resposta

Em pu: V_2\approx0,8930.
Em kV: V_2\approx61,6\\ \mathrm{kV}.

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