Um sistema de segunda ordem é subamortecido com um fator de amortecimento de 0,4 e uma frequência angular de 10 Hz . Qual é:
a) A relação entre a saída e a entrada no domínio s ?
b) A relação entre a saída e a entrada no domínio do tempo quando o sistema está sujeito a uma entrada degrau unitário?

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema de segunda ordem subamortecido com fator de amortecimento \zeta=0{,}4 e frequência natural em hertz f=10\:\mathrm{Hz}. Vamos precisar
  1. montar a função de transferência padrão de um sistema de segunda ordem,
  2. converter f em frequência natural angular \omega_n,
  3. calcular a resposta ao degrau unitário usando a transformada inversa de Laplace.

Passo 2

A forma padrão da função de transferência de um sistema de segunda ordem é
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\,\zeta\,\omega_n\,s+\omega_n^2}.
Aqui \omega_n=2\pi f e \zeta=0{,}4.

Passo 3

Calculando numericamente:
\omega_n=2\pi\cdot10\approx62{,}83\;\mathrm{rad/s}.
Substituindo em G(s) obtemos
G(s)=\frac{(62{,}83)^2}{s^2+2\cdot0{,}4\cdot62{,}83\,s+(62{,}83)^2} =\frac{3947{,}8}{s^2+50{,}265\,s+3947{,}8}.

Passo 4

Para entrada degrau unitário temos
Y(s)=G(s)\,\frac{1}{s} =\frac{\omega_n^2}{s\,(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}.
A resposta no tempo é a transformada inversa de Laplace dessa expressão, que para \zeta<1 é conhecida como
y(t) =1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\;e^{-\zeta\omega_n t} \sin\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
onde \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} e \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta).

Passo 5

Calculando os parâmetros:
\omega_d=62{,}83\sqrt{1-0{,}4^2} =62{,}83\sqrt{0{,}84}\approx57{,}62\;\mathrm{rad/s}, \qquad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}4)\approx1{,}159\;\mathrm{rad}.
Logo a resposta ao degrau é
y(t) =1-\frac{1}{\sqrt{1-0{,}4^2}}\, e^{-0{,}4\cdot62{,}83\,t}\, \sin\bigl(57{,}62\,t+1{,}159\bigr).

Resposta

a)
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} =\frac{3947{,}8}{s^2+50{,}265\,s+3947{,}8}.
b)
y(t) =1-\frac{1}{\sqrt{1-0{,}4^2}}\, e^{-0{,}4\cdot62{,}83\,t}\, \sin\bigl(57{,}62\,t+1{,}159\bigr).

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