Solução de Equações Diferenciais Ordinárias através de Transformada de Laplace.
\dddot{y}+6 \ddot{y}+3 \dot{y}+2 y=6 \therefore y(0)=5, \dot{y}(0)=0, \ddot{y}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial linear com coeficientes constantes
\dddot{y}(t) + 6\,\ddot{y}(t) + 3\,\dot{y}(t) + 2\,y(t) \;=\;6
sujeita às condições iniciais
y(0)=5,\quad \dot y(0)=0,\quad \ddot y(0)=2.
O que precisamos:
  1. aplicar a transformada de Laplace em cada termo usando as fórmulas com condições iniciais;
  2. obter Y(s)=\mathcal L\{y(t)\};
  3. decompor em frações parciais e inverter para y(t).

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de cada termo e usando
\mathcal L\{\dddot y\}=s^3Y(s)-s^2y(0)-s\,\dot y(0)-\ddot y(0),
\mathcal L\{\ddot y\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0),
\mathcal L\{\dot y\}=sY(s)-y(0),
\mathcal L\{y\}=Y(s),
chegamos a
\bigl[s^3Y(s)-5s^2-0\cdot s-2\bigr] +6\bigl[s^2Y(s)-5s-0\bigr] +3\bigl[sY(s)-5\bigr] +2\,Y(s) \;=\;\mathcal L\{6\} \;=\;\frac{6}{s}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando, obtemos
\bigl(s^3+6s^2+3s+2\bigr)\,Y(s) \;-\;\bigl(5s^2+30s+17\bigr) \;=\;\frac{6}{s},
ou seja
Y(s) \;=\; \frac{\displaystyle 5s^2+30s+17}{s^3+6s^2+3s+2} \;+\; \frac{6/s}{s^3+6s^2+3s+2}.
Podemos também escrever
Y(s) =\frac{6}{s\,(s^3+6s^2+3s+2)}\;+\;\frac{5s^2+30s+17}{s^3+6s^2+3s+2}.

Passo 4

Para inverter, notamos que a solução é soma da parte particular y_p(t) mais a homogênea y_h(t). A parte particular constante vem de \displaystyle \frac{6}{s\,(s^3+6s^2+3s+2)}: isso gera y_p(t)=3. A parte homogênea corresponde a
Y_h(s)=\frac{5s^2+30s+17}{s^3+6s^2+3s+2},
cuja inversão se faz por frações parciais no polinômio do terceiro grau. Seja r_1,r_2,r_3 as raízes (uma real e duas complexas conjugadas) de
s^3+6s^2+3s+2=0.
Então
Y_h(s) =\sum_{i=1}^3\frac{A_i}{s-r_i} \quad\Longrightarrow\quad y_h(t) =\sum_{i=1}^3A_i\,e^{r_i t},
onde
A_i=\lim_{s\to r_i}(s-r_i)\,Y_h(s).
Os coeficientes A_i ficam determinados de forma única pelas condições iniciais.

Passo 5

Concluímos que a solução explícita em tempo fica
y(t) =3 \;+\;\sum_{i=1}^3A_i\,e^{r_i t},
onde
r_1,r_2,r_3 \quad\text{são as raízes de}\quad s^3+6s^2+3s+2=0,ãí
e
A_i =\lim_{s\to r_i}(s-r_i)\frac{5s^2+30s+17}{s^3+6s^2+3s+2}.
Esses A_i satisfazem as condições iniciais e podem ser calculados diretamente pelo resíduo de Y_h(s).

Resposta

\boxed{y(t)=3+\sum_{i=1}^3A_i\,e^{r_i t},}
com r_i raízes de s^3+6s^2+3s+2=0 e
A_i=\lim_{s\to r_i}(s-r_i)\,\frac{5s^2+30s+17}{s^3+6s^2+3s+2}.

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