Solução de Equações Diferenciais Ordinárias através de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial linear com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O que precisamos:
- aplicar a transformada de Laplace em cada termo usando as fórmulas com condições iniciais;
- obter
; - decompor em frações parciais e inverter para
.
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace de cada termo e usando
chegamos a
Passo 3
Agrupando os termos em
e isolando, obtemos
ou seja
Podemos também escrever
Passo 4
Para inverter, notamos que a solução é soma da parte particular
mais a homogênea
. A parte particular constante vem de
: isso gera
. A parte homogênea corresponde a
cuja inversão se faz por frações parciais no polinômio do terceiro grau. Seja
as raízes (uma real e duas complexas conjugadas) de
Então
onde
Os coeficientes
ficam determinados de forma única pelas condições iniciais.
Passo 5
Concluímos que a solução explícita em tempo fica
onde
e
Esses
satisfazem as condições iniciais e podem ser calculados diretamente pelo resíduo de
.
Resposta
com
raízes de
e