Um termopar tem uma função de transferência relacionando sua saída em volts com sua entrada \theta_{i} em { }^{\circ} \mathrm{C} de:
G(s)=\frac{30 \times 10^{-6}}{10 s+1}
Quando o termopar estiver sujeito a uma entrada de temperatura uniformemente crescente de 5^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{s}, qual será a saída do termopar após 12 s e de quanto ela estará atrasada em relação à saída que ele teria indicado se houvesse respondido instantaneamente à entrada?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de um termopar de primeira ordem
G(s)=\frac{30\times10^{-6}}{10\,s+1}
que tem ganho K=30\times10^{-6} (V/ \circC) e constante de tempo \tau=10 s. A entrada é uma rampa de temperatura de inclinação r=5 \circC/s, ou seja
\theta_i(t)=r\,t=5\,t.
Queremos (a) a saída y(t) em t=12 s e (b) o atraso em relação à leitura instantânea y_{\rm inst}(t)=K\,\theta_i(t).

Passo 2

Para um sistema de primeira ordem com constante de tempo \tau e ganho K, sujeito a uma rampa de taxa r, a resposta no tempo é
y(t) =K\,r\Bigl[t-\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\Bigr].
Esse resultado pode ser obtido via transformada de Laplace ou conhecido como resposta de rampa de um modelo \frac{K}{\tau s+1}.

Passo 3

Substituindo K=30\times10^{-6}, r=5 e \tau=10 na fórmula de y(t), obtemos
y(12) =30\times10^{-6}\times5\bigl[12-10\bigl(1-e^{-12/10}\bigr)\bigr] =150\times10^{-6}\bigl[12-10+10e^{-1{,}2}\bigr].
Calculando e^{-1{,}2}\approx0{,}301194,
12-10+10e^{-1{,}2}=2+3{,}01194=5{,}01194,
y(12)=150\times10^{-6}\times5{,}01194\approx7,5179\times10^{-4}\text{ V}.

Passo 4

Se o termopar respondesse instantaneamente, teríamos
y_{\rm inst}(t)=K\,\theta_i(t)=30\times10^{-6}\times(5t) =150\times10^{-6}\,t.
Em t=12 s,
y_{\rm inst}(12)=150\times10^{-6}\times12=1{,}8\times10^{-3}\text{ V}.

Passo 5

Podemos medir o “atraso” em segundos como o \Delta t que satisfaz
y(12)=y_{\rm inst}(12-\Delta t) \quad\Longrightarrow\quad 150\times10^{-6}\,(12-\Delta t)=7{,}5179\times10^{-4}.
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12-\Delta t=\frac{7{,}5179\times10^{-4}}{150\times10^{-6}}=5{,}01194 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t=12-5{,}01194\approx6{,}988\text{ s}.

Resposta

A saída após 12 s é aproximadamente 7{,}52\times10^{-4} V ( 0,752 mV) e ela está atrasada em cerca de 6,99 s em relação ao valor que seria indicado instantaneamente.

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