Num sistema de telecomunicação digital, considere um sinal A com probabilidade P= 0,8 (probabilidade desse sinal ser transmitido pelo sistema). Tem-se também um outro sinal B, mas com probabilidade P=0,3.
Sabendo que o tamanho da palavra binária associada ao sinal será diretamente proporcional à expressão \log (1 / P), assinale a alternativa correta sobre a quantidade de bits
para constituir a palavra a ser enviada ( \mathbf{0 , 5} ponto):
  • a) O sinal A terá uma quantidade maior de bits, em relação ao sinal B, para constituir o código binårio associado.
    (D)b) Sinal B terá uma quantidade maior de bits, em relação ao sinal A, para constituir o códig b binário associado. ✓
    (Oc) Os dois sinais vão apresentar palavras binárias associadas com a mesma quantidade de bits.
    ©d) Não é possível concluir sobre a quantidade de bits do código binário associado a um sinal a partir da probabilidade desse sinal ser enviado.
    Oe) Nenhuma das alternativas.

Passo 1

O enunciado dá duas probabilidades de ocorrência dos sinais:
  • Probabilidade do sinal A: \;P_A=0,8.
  • Probabilidade do sinal B: \;P_B=0,3.
O enunciado afirma que o tamanho da palavra binária associada a um sinal é diretamente proporcional à expressão \log\!\left(\dfrac{1}{P}\right). A pergunta pede que se determine qual sinal terá uma quantidade maior de bits na palavra binária associada (comparar A e B) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Entender a expressão: a quantidade de bits é proporcional a
\log\!\left(\dfrac{1}{P}\right).
É útil reescrever essa expressão como
\log\!\left(\dfrac{1}{P}\right) = -\log(P).
Aqui \log pode ser qualquer base maior que 1 (na prática para bits usa-se base 2, \log_2), mas para comparar quem é maior entre duas probabilidades não importa a base, pois mudar a base multiplica por uma constante positiva e não altera a ordem.

Passo 3

Raciocínio qualitativo: se P é menor, então \dfrac{1}{P} é maior; como a função \log é crescente, \log(1/P) será maior quando P for menor. Portanto sinais com menor probabilidade exigem palavras binárias maiores (mais bits) segundo essa regra — porque são mais “surpreendentes” e exigem mais informação para codificá‑los.

Passo 4

Aplicando aos valores dados:
\log_2\!\left(\dfrac{1}{P_A}\right)=\log_2\!\left(\dfrac{1}{0,8}\right)=\log_2(1,25)\approx0,322\\ \text{bits},
\log_2\!\left(\dfrac{1}{P_B}\right)=\log_2\!\left(\dfrac{1}{0,3}\right)=\log_2(3,\overline{3})\approx1,737\\ \text{bits}.
Como \log_2(3,\overline{3})>\log_2(1,25), o sinal B (com probabilidade menor) tem valor de \log(1/P) maior e, portanto, exigirá mais bits.

Passo 5

Interpretação intuitiva e dica para prova: eventos raros (baixa probabilidade) carregam mais informação e, seguindo a regra dada, recebem códigos maiores. Assim, sem calcular precisamente sempre se pode comparar probabilidades: menor P → maior \log(1/P) → mais bits. Vai firme — você já entendeu o raciocínio que o examinador espera!

Resposta

(b)

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