Um sistema tem
. Determine o valor crítico do amortecedor
c. Se
, determine a equação do movimento para uma condição inicial de
e velocidade nula.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pedidos (peguei os números diretamente do enunciado):
- Massa:
. - Rigidez da mola:
. - Condição inicial de posição:
. - Condição inicial de velocidade:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor crítico do amortecedor
, isto é, . - Assumindo
, determinar a equação do movimento que satisfaça as condições iniciais dadas.
Passo 2
Montando a equação do movimento (modelo massa-mola-amortecedor): por segunda lei de Newton, massa vezes aceleração é igual à soma das forças. As forças na direção do deslocamento são:
- Força da mola:
(tende a trazer para ). - Força do amortecedor linear:
(proporcional à velocidade, resistiva).
Logo a equação diferencial do movimento sem forçamento é
Aqui
é o deslocamento,
é a velocidade e
é a aceleração. Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para classificar o amortecimento usamos a equação característica associada:
As raízes
determinam o comportamento do sistema. O amortecimento é crítico quando a equação característica tem uma raiz dupla (discriminante zero). O discriminante é
Para amortecimento crítico impomos
, daí
Também é útil a forma usando a frequência natural não amortecida
, definida por
Nessa notação
(é algebraicamente equivalente a
).
Agora calculamos numericamente com os valores dados:
portanto
Passo 4
Com
o polinômio característico tem raiz dupla. Vamos encontrar essa raiz. A raiz para
vale
Substituindo
(ou usando
):
Calculemos
com os números fornecidos:
Logo a raiz dupla é
.
Para uma raiz dupla
a solução geral da EDO é
Explicando: quando há duas raízes iguais, a segunda solução independentemente linear é
, por isso o termo
.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Escrevemos a solução com nosso
:
Avaliação em
dá
logo
.
Derivando
para usar a condição de velocidade:
Primeiro escrevemos a derivada passo a passo:
Primeiro escrevemos a derivada passo a passo:
Agrupando:
Em
:
Impondo
e sabendo
:
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Passo 6
Verificação rápida e interpretação física (rápida):
- Em
temos (ok). - Em
a velocidade (ok, foi imposta). - Como o sistema é criticamente amortecido, a resposta retorna ao repouso sem oscilar e o retorno é o mais rápido possível sem ultrapassar o equilíbrio (essencial em projetos que exigem sem oscilações).
Força um pouco de ânimo: você já tem a fórmula padrão para massa-mola-amortecedor e o procedimento para cada caso (subamortecido, criticamente amortecido, superamortecido) — com isso resolve essas questões na prova passo a passo.