Um sistema tem m=2 k g, k=50 N / m. Determine o valor crítico do amortecedor c c. Se c=c_{c}, determine a equação do movimento para uma condição inicial de x 0=0,1 m e velocidade nula.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pedidos (peguei os números diretamente do enunciado):
  • Massa: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez da mola: k=50\\ \mathrm{N/m}.
  • Condição inicial de posição: x(0)=x_0=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Condição inicial de velocidade: x'(0)=0.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar o valor crítico do amortecedor c, isto é, c_c.
  2. Assumindo c=c_c, determinar a equação do movimento x(t) que satisfaça as condições iniciais dadas.

Passo 2

Montando a equação do movimento (modelo massa-mola-amortecedor): por segunda lei de Newton, massa vezes aceleração é igual à soma das forças. As forças na direção do deslocamento são:
  • Força da mola: -k x (tende a trazer para x=0).
  • Força do amortecedor linear: -c x' (proporcional à velocidade, resistiva).
Logo a equação diferencial do movimento sem forçamento é
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0.
Aqui x(t) é o deslocamento, x'(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade e x''(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2} é a aceleração. Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para classificar o amortecimento usamos a equação característica associada:
m r^{2}+c r + k = 0.
As raízes r determinam o comportamento do sistema. O amortecimento é crítico quando a equação característica tem uma raiz dupla (discriminante zero). O discriminante é
\Delta = c^{2}-4 m k.
Para amortecimento crítico impomos \Delta=0, daí
c_{c}^{2}-4 m k = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{c}=2\sqrt{m k}.
Também é útil a forma usando a frequência natural não amortecida \omega_{n}, definida por
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Nessa notação c_{c}=2 m \omega_{n} (é algebraicamente equivalente a 2\sqrt{mk}).
Agora calculamos numericamente com os valores dados:
\sqrt{m k}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10,
portanto
c_{c}=2\cdot 10 = 20\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 4

Com c=c_{c} o polinômio característico tem raiz dupla. Vamos encontrar essa raiz. A raiz para \Delta=0 vale
r = -\dfrac{c}{2m}.
Substituindo c_{c}=2\sqrt{mk} (ou usando \omega_{n}):
r = -\dfrac{c_{c}}{2m} = -\dfrac{2\sqrt{mk}}{2m} = -\sqrt{\dfrac{k}{m}} = -\omega_{n}.
Calculemos \omega_{n} com os números fornecidos:
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{rad/s}.
Logo a raiz dupla é r=-5.
Para uma raiz dupla r a solução geral da EDO é
x(t) = (A + B\,t)\,e^{r t}.
Explicando: quando há duas raízes iguais, a segunda solução independentemente linear é t e^{r t}, por isso o termo B t e^{r t}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para achar A e B.
Escrevemos a solução com nosso r=-\omega_{n}=-5:
x(t)=(A + B\,t)\,e^{-5t}.
Avaliação em t=0
x(0)=A\cdot e^{0}=A = 0,1,
logo A=0,1.
Derivando x(t) para usar a condição de velocidade:
Primeiro escrevemos a derivada passo a passo:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}\big[(A + B t)e^{-5t}\big] = B e^{-5t} + (A + B t)(-5)e^{-5t}.
Agrupando:
x'(t)=e^{-5t}\big(B -5A -5B t\big).
Em t=0:
x'(0)=B -5A.
Impondo x'(0)=0 e sabendo A=0,1:
0 = B -5\cdot 0,1 = B -0,5 \quad\Longrightarrow\quad B=0,5.
Portanto a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
x(t)=\big(0,1 + 0,5\,t\big)\,e^{-5t}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação física (rápida):
  • Em t=0 temos x(0)=0,1 (ok).
  • Em t=0 a velocidade x'(0)=0 (ok, foi imposta).
  • Como o sistema é criticamente amortecido, a resposta retorna ao repouso sem oscilar e o retorno é o mais rápido possível sem ultrapassar o equilíbrio (essencial em projetos que exigem sem oscilações).
Força um pouco de ânimo: você já tem a fórmula padrão para massa-mola-amortecedor e o procedimento para cada caso (subamortecido, criticamente amortecido, superamortecido) — com isso resolve essas questões na prova passo a passo.

Resposta

c_{c}=20\\ \mathrm{N\cdot s/m}
x(t)=\big(0,1 + 0,5\,t\big)\,e^{-5t}\\ \mathrm{m}

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