Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois itens:
- localizar e classificar os pontos críticos de
; - determinar se
tem extremo absoluto em seu domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função contém
, portanto só está definida quando . - Logo o domínio é
ou seja, as duas componentes abertas e desconexas:
(1.º quadrante) e
(3.º quadrante).
Passo 2
Vamos encontrar os pontos críticos: isso significa resolver o sistema formado pelas derivadas parciais primeiras iguais a zero. Primeiro explico o que são essas derivadas e por que as usamos.
A derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo. Analogamente para
. Um ponto crítico interior do domínio ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero (ou não existem). No nosso caso as derivadas existem em todo
, então procuramos onde são zero.
Calcule as derivadas parciais. Observação: como
, a derivada de
em relação a
é
e em relação a
é
Portanto as derivadas da função são
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
e
. Ou seja,
Resolvendo cada uma:
Assim há um único ponto crítico obtido:
. Esse ponto pertence a
porque
e
, então está no 1.º quadrante.
Passo 4
Classificação do ponto crítico: usamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é isso.
A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
Para funções de duas variáveis, uma maneira prática de classificar é calcular
e o determinante
no ponto crítico:
- se
e então é máximo local; - se
e então é mínimo local; - se
é ponto de sela; - se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas da função:
e
pois as derivadas mistas de
aqui dão zero (a função se separa em termos de
e
nas derivadas primeiras).
Avaliaremos no ponto crítico
:
Temos
e
, logo, pelo teste,
é um máximo local.]
Passo 5
Valor da função no ponto crítico (útil para comparar):
Passo 6
Comentário qualitativo (concavidade) que ajuda a entender a natureza global: a Hessiana é diagonal com entradas
e
, ambas negativas em todo
. Isso significa que
é estritamente côncava em cada componente conectada de
(no 1.º quadrante e no 3.º quadrante, separadamente). Em uma região côncava, um ponto crítico, quando existe, é único e é máximo global daquela componente. Portanto o ponto
é o máximo global da componente
.
Passo 7
Agora ver se existem extremos absolutos no domínio inteiro
. Para isso investigamos o comportamento de
perto da fronteira do domínio e “no infinito” em cada componente.
-
Comportamento próximo às coordenadas onde
(por exemplo com fixo positivo): , então . Assim não é limitado inferiormente; não existe mínimo absoluto (vai para ). -
Comportamento quando
(no 1.º quadrante): os termos lineares dominam e tendem a , então também naquela direção. -
Comportamento no 3.º quadrante: escreva
, com . Então
À medida que
e/ou
tendem para
, os termos
e
crescem sem limite e dominam
, logo
. Portanto em
há direções (na componente
) em que
tende a
, ou seja,
é não limitado superiormente.
Conclusão dessas observações:
não tem mínimo absoluto (vai para
perto da fronteira
), nem tem máximo absoluto no domínio inteiro (porque em
). Note que isto não contradiz o fato de que
é máximo global apenas da componente
.
Passo 8
Resumo final e interpretação prática para a prova (dicas rápidas):
- Para localizar pontos críticos: calcular
e e resolver igual a zero. - Para classificar: usar a Hessiana e o determinante
. - Sempre verificar o domínio (aqui
) antes de considerar pontos com sinais possivelmente diferentes. - Para extremos absolutos, examinar o comportamento nas fronteiras do domínio e em direções que vão ao infinito.
Resposta
Ponto crítico:
— máximo local (e, de fato, máximo global da componente
).
A função não possui extremo absoluto no domínio (não tem mínimo absoluto e não tem máximo absoluto no domínio inteiro).
A função não possui extremo absoluto no domínio