Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(i) z=\ln (x y)-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado dá a função
z=f(x,y)=\ln(xy)-2x-3y
e pede dois itens:
  • localizar e classificar os pontos críticos de f;
  • determinar se f tem extremo absoluto em seu domínio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função contém \ln(xy), portanto só está definida quando xy>0.
  • Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy>0\},
ou seja, as duas componentes abertas e desconexas: x>0,y>0 (1.º quadrante) e x<0,y<0 (3.º quadrante).

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos: isso significa resolver o sistema formado pelas derivadas parciais primeiras iguais a zero. Primeiro explico o que são essas derivadas e por que as usamos.
A derivada parcial \partial f/\partial x mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Analogamente para \partial f/\partial y. Um ponto crítico interior do domínio ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero (ou não existem). No nosso caso as derivadas existem em todo D, então procuramos onde são zero.
Calcule as derivadas parciais. Observação: como xy>0, a derivada de \ln(xy) em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x},
e em relação a y é
\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y}.
Portanto as derivadas da função são
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x}-2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}-3.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0. Ou seja,
\frac{1}{x}-2=0,\qquad \frac{1}{y}-3=0.
Resolvendo cada uma:
\frac{1}{x}-2=0 \Longrightarrow \frac{1}{x}=2 \Longrightarrow x=\frac{1}{2},
\frac{1}{y}-3=0 \Longrightarrow \frac{1}{y}=3 \Longrightarrow y=\frac{1}{3}.
Assim há um único ponto crítico obtido: \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right). Esse ponto pertence a D porque x>0 e y>0, então está no 1.º quadrante.

Passo 4

Classificação do ponto crítico: usamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é isso.
A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Para funções de duas variáveis, uma maneira prática de classificar é calcular f_{xx} e o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 no ponto crítico:
  • se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local;
  • se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local;
  • se D<0 é ponto de sela;
  • se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas da função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x}-2\right)=-\frac{1}{x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}-3\right)=-\frac{1}{y^2},
e
f_{xy}=f_{yx}=0,
pois as derivadas mistas de \ln(xy) aqui dão zero (a função se separa em termos de x e y nas derivadas primeiras).
Avaliaremos no ponto crítico \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right):
f_{xx}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right)=-\frac{1}{(1/2)^2}=-4,
f_{yy}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right)=-\frac{1}{(1/3)^2}=-9,
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = (-4)\cdot(-9)-0=36>0.
Temos D>0 e f_{xx}<0, logo, pelo teste, \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right) é um máximo local.]

Passo 5

Valor da função no ponto crítico (útil para comparar):
f\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\right)-2\cdot\tfrac{1}{2}-3\cdot\tfrac{1}{3} =\ln\!\left(\tfrac{1}{6}\right)-1-1=\ln\!\left(\tfrac{1}{6}\right)-2=-\ln 6-2.

Passo 6

Comentário qualitativo (concavidade) que ajuda a entender a natureza global: a Hessiana é diagonal com entradas -1/x^2 e -1/y^2, ambas negativas em todo D. Isso significa que f é estritamente côncava em cada componente conectada de D (no 1.º quadrante e no 3.º quadrante, separadamente). Em uma região côncava, um ponto crítico, quando existe, é único e é máximo global daquela componente. Portanto o ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) é o máximo global da componente x>0,y>0.

Passo 7

Agora ver se existem extremos absolutos no domínio inteiro D. Para isso investigamos o comportamento de f perto da fronteira do domínio e “no infinito” em cada componente.
  1. Comportamento próximo às coordenadas onde xy\to 0^+ (por exemplo x\to 0^+ com y fixo positivo): \ln(xy)\to -\infty, então f(x,y)\to -\infty. Assim f não é limitado inferiormente; não existe mínimo absoluto (vai para -\infty).
  2. Comportamento quando x,y\to +\infty (no 1.º quadrante): os termos lineares -2x-3y dominam e tendem a -\infty, então f\to -\infty também naquela direção.
  3. Comportamento no 3.º quadrante: escreva x=-u, y=-v com u>0,v>0. Então
f(x,y)=f(-u,-v)=\ln(uv)-2(-u)-3(-v)=\ln u+\ln v+2u+3v.
À medida que u e/ou v tendem para +\infty, os termos 2u e 3v crescem sem limite e dominam \ln u+\ln v, logo f(-u,-v)\to +\infty. Portanto em D há direções (na componente x<0,y<0) em que f tende a +\infty, ou seja, f é não limitado superiormente.
Conclusão dessas observações: f não tem mínimo absoluto (vai para -\infty perto da fronteira xy=0), nem tem máximo absoluto no domínio inteiro (porque em x<0,y<0 f\to +\infty). Note que isto não contradiz o fato de que \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) é máximo global apenas da componente x>0,y>0.

Passo 8

Resumo final e interpretação prática para a prova (dicas rápidas):
  • Para localizar pontos críticos: calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e resolver igual a zero.
  • Para classificar: usar a Hessiana e o determinante D.
  • Sempre verificar o domínio (aqui xy>0) antes de considerar pontos com sinais possivelmente diferentes.
  • Para extremos absolutos, examinar o comportamento nas fronteiras do domínio e em direções que vão ao infinito.

Resposta

Ponto crítico: \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}\right) — máximo local (e, de fato, máximo global da componente x>0,y>0).
A função não possui extremo absoluto no domínio D (não tem mínimo absoluto e não tem máximo absoluto no domínio inteiro).

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