Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em mathbb{R}^{2}.
(c) z=x^{2}-2 x(\sin y+\cos x)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-2x(\sin y+\cos x)
definida em \mathbb{R}^{2} e pergunta quais extremos (máximo ou mínimo) ela tem em \mathbb{R}^{2}. Informações úteis extraídas do enunciado:
A função é contínua em \mathbb{R}^{2} (é polinomial em x e composta com seno/cosseno).
Para todo y vale \sin y\in[-1,1] e para todo x vale \cos x\in[-1,1]. Logo a soma \sin y+\cos x é sempre limitada por [-2,2].
A pergunta é se existe ponto(s) em \mathbb{R}^{2} em que f atinge um valor mínimo global ou um valor máximo global.
Passo 2
Primeiro, vamos estudar o comportamento de f quando |x| é grande, para ver se a função pode ser limitada acima ou abaixo. Usando a desigualdade triangular e as cotas de seno e cosseno:
|\sin y+\cos x|\le |\sin y|+|\cos x|\le 2.
Então, para todo (x,y),
\big|-2x(\sin y+\cos x)\big|\le 4|x|.
Isto implica
f(x,y)=x^{2}-2x(\sin y+\cos x)\ge x^{2}-4|x|.
Observe que x^{2}-4|x|=|x|(|x|-4), que tende para +\infty quando |x|\to\infty. Portanto, ao fazer |x| grande (independentemente de y), os valores de f(x,y) crescem sem limite para +\infty. Conclusão preliminar: f é não limitada superiormente (tende a +\infty para |x|\to\infty), logo não pode ter máximo global.
Passo 3
Agora vamos procurar se existe mínimo global. Uma técnica prática aqui é primeiro minimizar em relação a y (porque \sin y varia num intervalo compacto) e depois minimizar em x. Para x fixo, a parte que depende de y é -2x\sin y. Como \sin y\in[-1,1], o termo -2x\sin y atinge seu menor valor possível igual a -2|x| (isto ocorre quando \sin y=\operatorname{sign}(x); para x>0 escolhe-se \sin y=1, para x<0 escolhe-se \sin y=-1; se x=0 o termo é zero para todo y). Portanto, minimizando sobre y obtemos a função em uma variável
Explicando: substituiu-se o mínimo de -2x\sin y por -2|x|.
Passo 4
Estudamos agora g(x). Primeiro, g é contínua em \mathbb{R} (a composição de x^{2}, |x| e x\cos x é contínua). Em seguida, para |x|\to\infty temos, como anteriormente, que o termo dominante é x^{2}, então
Uma função contínua em \mathbb{R} que vai para +\infty nas extremidades deve atingir um valor mínimo global em algum ponto x^{*}\in\mathbb{R}. (Argumento prático: existe R grande tal que para |x|>R tem-se g(x)>g(0), então o mínimo global ocorre no compacto [-R,R], onde a continuidade garante existência do mínimo.)
Logo existe x^{*} tal que g(x^{*})=\min_{x\in\mathbb{R}} g(x).
Passo 5
Voltando para a função original f\): como a minimização em \(y\) foi alcançada escolhendo \(\sin y=\operatorname{sign}(x)\) (ou qualquer \(y\) com \(\sin y=0\) quando \(x=0\)), para o \(x^{*}\) que minimiza \(g\) podemos escolher um \(y^{*}\) com
\[\sin y^{*}=\operatorname{sign}(x^{*}),\qquad\text{por exemplo }y^{*}= \begin{cases} \frac{\pi}{2}+2k\pi,& x^{*}>0,\\[4pt] \frac{3\pi}{2}+2k\pi,& x^{*}<0,\\[4pt] \text{qualquer }y,& x^{*}=0, \end{cases}
assim f(x^{*},y^{*})=g(x^{*})\]. Portanto o mínimo global de \(g corresponde a um mínimo global de f em \mathbb{R}^{2}. Concluímos que f atinge um mínimo global em \mathbb{R}^{2}.]
Passo 6
Confirmando a ausência de máximo global: já vimos que f(x,y)\to+\infty quando |x|\to\infty. Para uma construção explícita de sequência que faz f\to+\infty, escolha y=0 e x_{n}=2\pi n. Então \cos x_{n}=1 e \sin y=0, logo