Um sistema tem uma saída \theta_{o}, que varia com o tempo t de acordo com a seguinte equação diferencial
\frac{d^{2} \theta_{o}}{d t^{2}}+10 \frac{d \theta_{o}}{d t}+25 \theta_{o}=50 \theta_{i}
a) Qual é a frequência não-amortecida.
b) O coeficiente de amortecimento;
c) A solução da equação se \theta_{o}=0 em t=0 e d \theta_{o} / d t=-2 em t=0 para uma entrada degrau de amplitude 3 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de um sistema de segunda ordem
\frac{d^{2}\theta_{o}}{dt^{2}} + 10\,\frac{d\theta_{o}}{dt} + 25\,\theta_{o} = 50\,\theta_{i}(t),
pede: a) a frequência não amortecida \omega_{n}; b) o coeficiente de amortecimento \zeta; c) a solução para entrada degrau de amplitude 3, com condições iniciais \theta_{o}(0)=0 e \dot\theta_{o}(0)=-2. Vamos usar a forma padrão
\ddot y + 2\zeta\omega_{n}\dot y + \omega_{n}^{2}y = K\,\omega_{n}^{2}u(t)
para identificar \omega_{n} e \zeta, depois resolver homogênea + particular.

Passo 2

Comparando
\ddot\theta_{o} + 10\,\dot\theta_{o} + 25\,\theta_{o} = 50\,\theta_{i},
com
\ddot y + 2\zeta\omega_{n}\dot y + \omega_{n}^{2}y = \dots
vemos que \omega_{n}^{2}=25, logo
\omega_{n} = 5\\ \text{rad/s}.

Passo 3

O coeficiente de amortecimento satisfaz
2\zeta\omega_{n} = 10 \quad\Longrightarrow\quad 2\zeta\cdot 5 = 10 \quad\Longrightarrow\quad \zeta = 1.

Passo 4

Para a entrada degrau \theta_{i}(t)=3\,u(t), a solução particular em regime permanente é
\theta_{p} = \frac{50\cdot 3}{25} = 6.
A equação homogênea
r^{2}+10r+25=0
tem raiz dupla r=-5. Logo a solução geral é
\theta_{o}(t) = 6 + (C_{1} + C_{2}\,t)\,e^{-5t}.

Passo 5

Aplicando \theta_{o}(0)=0:
0 = 6 + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = -6.
Derivando e impondo \dot\theta_{o}(0)=-2:
\dot\theta_{o}(t) = \bigl[C_{2}-5(C_{1}+C_{2}t)\bigr]e^{-5t},
\dot\theta_{o}(0) = C_{2}-5C_{1} = -2 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} -5(-6) = -2 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = -32.

Resposta

a) \omega_{n}=5 rad/s
b) \zeta=1
c)
\theta_{o}(t) = 6 + \bigl(-6 \;-\;32\,t\bigr)\,e^{-5t}.

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