Um circuito consiste em um resistor R em série com um indutor L. Quando sujeito a uma tensão de entrada degrau V no instante t=0 a equação diferencial para o sistema é
\frac{d i}{d t}+\frac{R}{L} i=\frac{V}{L}
a) Qual é i(t) a solução para essa equação diferencial.
b) A constante de tempo.
c) A corrente em regime permanente i ?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RL série sujeito a uma tensão degrau V em t=0. A equação diferencial é
\frac{d i}{d t} + \frac{R}{L}\,i = \frac{V}{L}.
O conteúdo aqui é a solução de uma EDO linear de primeira ordem, identificação da constante de tempo e o valor da corrente em regime permanente.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
\frac{d i_h}{d t} + \frac{R}{L}\,i_h = 0.
Integrando, obtemos
i_h(t) = A \exp\!\Bigl(-\frac{R}{L}t\Bigr),
onde A é constante determinada pela condição inicial.

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante i_p(t)=I_p. Substituindo na EDO:
0 + \frac{R}{L}\,I_p = \frac{V}{L}
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I_p = \frac{V}{R}.
Assim a solução geral é
i(t) = A \exp\!\Bigl(-\frac{R}{L}t\Bigr) + \frac{V}{R}.
Assumindo corrente nula antes do degrau, i(0)=0, temos
0 = A + \frac{V}{R} \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{V}{R}.
Portanto
i(t) = \frac{V}{R}\,\Bigl(1 - \exp\!\bigl(-\tfrac{R}{L}t\bigr)\Bigr).

Passo 4

A constante de tempo \tau é o inverso do coeficiente que multiplica t no expoente, isto é
\tau = \frac{L}{R}.

Passo 5

A corrente em regime permanente é o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}i(t) = \frac{V}{R}.

Resposta

a) i(t) = \displaystyle \frac{V}{R}\bigl(1 - e^{-\tfrac{R}{L}t}\bigr)
b) \tau = \displaystyle \frac{L}{R}
c) i(\infty) = \displaystyle \frac{V}{R}

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